teoria de conjuntos

Teoría de Conjuntos
Febrero 2002

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Índice general
0.1. Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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TEORÍA BÁSICA DE CONJUNTOS
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1. Introducción
1.1. Pinceladas históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Teoría intuitiva de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. La selva de Cantor . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .

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1.2.2. Problemas en la teoría intuitiva de conjuntos: la paradoja
de Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Solución de las paradojas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. El Universo matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Teoría axiomática de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Álgebra de Conjuntos
2.1. El lenguaje de la Teoría de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Igualdad, inclusión y conjunto vacío . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Relaciones y Funciones
3.1. Clases unitarias, pares y díadas . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Conjuntopotencia (o conjunto de las partes de un conjunto)
3.3. Gran unión y gran intersección . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Relaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Relación inversa, producto relativo y restricción . . . . . . . .
3.7. Imagen bajo una relación y relación identidad. . . . . .. . .
3.8. Propiedades de ciertas relaciones . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10. Relaciones de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11. Funciones, composición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12. Funciones de A en B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ÍNDICE GENERAL

II Teoría de Conjuntos Axiomática
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4. Primeros Axiomas
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4.1. Axiomas de Extensionalidad y de Separación . . . . . . . . . . . 23
4.2. Axiomas del Par, de la Unión y de las Partes . . . . . . . . . . . 23
4.3. Axioma de Reemplazamiento . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 24
5. Construcción de los Ordinales
5.1. Buenos órdenes e inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Inducción en un conjunto bien ordenado . . . . . . . . .
5.1.2. Inducción en el conjunto de los números naturales . . .
5.2. Buenos órdenes y ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Comparación de conjuntos bien ordenados: Isomorfismos
5.2.2.Segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3. Ordinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Observaciones acerca de los ordinales . . . . . . . . . . . . . . .

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6. La Jerarquía de Zermelo
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6.1. Construcción de la Jerarquía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2. Axiomasinvolucrados en la construcción de la jerarquía . . . . . 32
7. Los Axiomas de Elección y Constructibilidad
7.1. Axioma de la elección . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1. Otras formulaciones del axioma de elección
7.1.2. Importancia del Axioma de Elección . . . .
7.2. Axioma de Constructibilidad . . . . . . . . . . . .

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8.Ejercicios
8.1. Igualdad, Inclusión y Conjunto vacío . . . . . . . .
8.2. Operaciones: Algebra de conjuntos . . . . . . . . .
8.3. Clases Unitarias, Pares y Díadas . . . . . . . . . .
8.4. Conjunto Potencia (o Conjunto de las Partes de un
8.5. Gran Unión y Gran Intersección . . . . . . . . . .
8.6. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7. Relaciones Binarias . . . . . . . . ....