Teoria De Conjuntos

INTRODUCCIÓN

El concepto de conjunto es de fundamental importancia en matemáticas y en particular en el estudio de estructuras discretas que permiten modelar y resolver problemas en el campo de la computación. Un conjunto es una colección de objetos bien definidos. A los objetos de la colección se les llama miembros o elementos del conjunto.

El adjetivo “bien definido “se usa parasignificar que cualquiera que sea el objeto considerado, se pueda determinar si está o no en el conjunto que se analiza. En consecuencia, se evita tratar con conjuntos como “el conjunto de las frutas más deliciosas”. Entre los ejemplos más importantes de conjuntos en matemáticas se encuentran los sistemas numéricos: el conjunto de los números naturales, el conjunto de los números enteros, el conjunto delos números racionales y el conjunto de los números reales.

JOHN VENN

John Venn, filósofo inglés (1834-1923), realizó importantes estudios de lógica y es conocido por los diagramas que llevan su nombre, que son representaciones gráficas de silogismos y proposiciones.

DIAGRAMA DE VENN

Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática y Lógica de clases conocidacomo teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. La posición relativa en el plano de tales círculos muestra la relación entre los conjuntos.

Diagrama de Venn

TEORIA DE CONJUNTOS

Los objetos que integran un conjunto reciben el nombre de elementosdel mismo; se representan simbólicamente por medio de letras minúsculas.
A cada conjunto se lo designa mediante una letra mayúscula.
La representación gráfica de los conjuntos se realiza a través de diagramas de Venn (línea curva cerrada)

Ejemplo,
M, representa el conjunto de los dedos de la mano.
A cada elemento de dicho conjunto le asignamos para su representación gráfica una letra.M

a a= pulgar
b c b=índice
c=mayor
d e d=anular
e=meñique


OPERACIONES CON CONJUNTOS

Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:

Unión de Conjuntos

La uniónde dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son los elementos de los conjuntos iniciales. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es la unión del conjunto de los números pares positivos A y el conjunto de los números impares positivos BI:
A= {2, 4, 6, ...}
B= {1, 3, 5, ...}
C= {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

La unión de conjuntos se denota por elsímbolo ∪, de modo que por ejemplo,
C= A∪B.

Intersección de Conjuntos.

En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los números paresP y el conjunto de los cuadradosC de números naturales, su intersección es el conjunto de loscuadrados pares D :

A = {2, 4, 6, 8, 10,...}
B = {1, 4, 9, 16, 25, ...}
C = {4, 16, 36, 64, ...}

La intersección de conjuntos se denota por el símbolo ∩ por lo que C = A ∩ B.

Diferencia entre conjuntos.

En teoría de conjuntos, la diferencia entre dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos aquellos en el primero de los conjuntos iniciales que noestén en el segundo. Por ejemplo, la diferencia entre el conjunto de los números naturales N y el conjunto de los números pares P es el conjunto de los números que no son pares, es decir, los impares I:

N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
P = {2, 4, 6, 8,...}
I = {1, 3, 5, 7, ...}

Como no hay ningún número par que no sea un número natural, la diferencia P menos N no tiene ningún elemento, por lo...