Teoria De Conjuntos

´ Dpto. de Algebra, Computaci´n, Geometr´ y Topolog´ o ıa ıa Universidad de Sevilla

Ejercicios de “Teor´ de conjuntos” ıa
Jos´ A. Alonso Jim´nez e e (jalonso@us.es)

Sevilla, 1991

Contenido
1 La teor´ de conjunto de Zermelo–Fraenkel ıa 1.1 1.2 El lenguaje de la teor´ de conjuntos . . . . . . . . . . . . . ıa Axiomas y desarrollo elemental . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 12 12 1634 37

2 Buenos ´rdenes. Ordinales o 2.1 2.2 Clases bien ordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N´meros ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u

3 Cardinales 4 El axioma de elecci´n o

1

Cap´ ıtulo 1 La teor´ de conjunto de ıa Zermelo–Fraenkel
1.1 El lenguaje de la teor´ de conjuntos ıa

Ejercicio 1.– Determinar las variables libres de la f´rmula (∀x)[x∈ y → o (∃y)[y = z]]. Ejercicio 2.– Escribir las f´rmulas representadas por las siguientes expreo siones: 1. {x : ϕ(x)} ⊆ {x : ψ(x)}

2. {x : ϕ(x)} ⊆ V 3. V es una clase propia. Ejercicio 3.– Demostrar que para cualquier clase A, A ⊆ V . Ejercicio 4.– Demostrar que {x : ¬(∃z)[x ∈ z ∧z ∈ x]} es una clase propia.

1.2

Axiomas y desarrollo elemental

Los axiomas de existencia, extensionalidady separaci´n o
Ejercicio 5.– Probar que para cada conjunto x, existe alg´n y tal que u y ∈ x. Ejercicio 6.– Demostrar que el axioma del conjunto vac´ es consecuencia ıo del axioma de separaci´n. o 2

Ejercicio 7.– Demostrar que si en el axioma de separaci´n se permite que o la variable y ocurra libre en ϕ(x), entonces (∀x)[x = ∅]. Ejercicio 8.– Demostrar que si A = ∅, entonces Ejercicio 9.–Demostrar que ∅=V. A es un conjunto.

Los axiomas del par, de la uni´n y del conjunto poteno cia
Ejercicio 10.– Demostrar que el axioma del par es consecuencia de los axiomas de la uni´n y de las partes. o Ejercicio 11.– Se definen 0 = ∅, 1 = 0 ∪ {0}, 2 = 1 ∪ {1}, 3 = 2 ∪ {2}, 4 = 3 ∪ {3}. Probar que 0, 1, 2, 3 y 4 son conjuntos. Ejercicio 12.– Expresar el conjunto 4 usando s´lo los s´ o ımbolos{, }, ∅, ,. Ejercicio 13.– Simplificar las siguientes expresiones: 1. 2. 3. 1. {{0, 1, 2}, {0, 4, 5}, {1, 6}}. {{0, 1, 2}, {0, 4, 5}, {1, 6}}. ( x − 4).

Ejercicio 14.– Sea x = {{2, 5}, 4, {4}}. Calcular

Ejercicio 15.– Sea x = {{{1, 2}, {1}}, {2}}. Calcular: x, x, x, x, x, x

Ejercicio 16.– Sea x = {{1, 2}, {0, 2}, {1, 3}}. Calcular: x, x, x, x, x, x a= b.

Ejercicio 17.– Encontrar dosconjuntos a y b tales que a = b y Ejercicio 18.– Demostrar: 1. b ∈ a → ∩a ⊆ b ⊆ ∪a. 2. a ⊆ b → ∪a ⊆ ∪b. 3. (∀c ∈ a)[c ⊆ b] → ∪a ⊆ b.

3

Ejercicio 19.– Sea x = {1, 2}. Calcular: x, x, x ∪ x− x , x− x

Ejercicio 20.– Dar un ejemplo de dos conjuntos a y b tales que a∩b=∅ y ( a) ∩ ( b) = (a ∩ b)

Ejercicio 21.– ¿Es a ∪ ( b) = {a ∪ c : c ∈ b}?. Si no, ¿qu´ condiciones e se necesitan para que severifique la igualdad?. Ejercicio 22.– Probar que para cualesquiera conjuntos a, b y c a∪a=a a∪b=b∪a a ∪ (b ∪ c) = (a ∪ b) ∪ c a ∩ (a ∪ b) = a a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c) c − (a ∩ b) = (c − a) ∪ (c − b) a∩a=a a∩b=b∩a a ∩ (b ∩ c) = (a ∩ b) ∩ c a ∪ (a ∩ b) = a a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪ c) c − (a ∪ b) = (c − a) ∩ (c − b)

Ejercicio 23.– Probar que para cualesquiera conjuntos a, b y c 1. a − (b− c) = (a − b) ∪ (a ∩ c) 2. (a ∪ b) − c = (a − c) ∪ (b − c) 3. (a − b) − c = a − (b ∪ c) Ejercicio 24.– Sean a y b dos conjuntos. Se define la diferencia sim´trica e de a y b como a b = (a − b) ∪ (b − a) Probar que: 1. a b es un conjunto 2. a b = (a ∪ b) − (a ∩ b) 3. a b = b a 4. a (b c) = (a b) c 5. a ∩ (b c) = (a ∩ b) (a ∩ c) 6. a ∅ = a 4 [Conmutativa] [Asociativa] [Distributiva] [Elementoneutro]

7. a a = ∅ 8. a b = c b 9. a b = ∅ =⇒ =⇒ a=c a=b

[Elementos sim´tricos] e [Cancelativa]

10. (a ∪ c) (b ∪ c) = (a b) − c 11. a ∪ c = b ∪ c =⇒ a b⊆c

12. (∀a)(∀b)(∃!c)[x c = b] 13. a, b disjuntos =⇒ a∪b=a b

14. a ∪ b = a b (a ∩ b) Ejercicio 25.– Demostrar que (a ∪ b) = ( a) ∪ ( b). (a ∪ b) =

Ejercicio 26.– Demostrar que si a y b son no vac´ entonces ıos, ( a) ∩ ( b)....