Teoria De Conteo

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES
"EZEQUIEL ZAMORA"

VICERRECTORADO DE PLANIFICACIÓN

Y DESARROLLO REGIONAL
SUB-PROYECTO: ESTADISTICA APLICADA



La Universidad que Siembra PROF. ALIRIO PEREZ


Teoría de Conteo
En este capítulo se estudiaran los principios fundamentales del conteo: Teoría de Conteo, Principio Fundamental delConteo, Factorial de un Número, Variación, Combinación, Permutación, Diagrama del Árbol y por último resolveremos problemas aplicados a la vida real
Definición 1: Se define la teoría de conteo como la parte de la matemática que se encarga de estudiar la formación de grupos a partir de los elementos de un conjunto, tomando en cuenta (o no tomando en cuenta) el orden de colocación de estos elementos quecontiene el conjunto.
Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes podemos contar los elementos de un conjunto que posee tres elementos?
a. Si los tomamos de tres en tres sin tomar en cuenta el orden de colocación.
b. Si los tomamos de tres en tres tomando en cuenta el orden de colocación.
Solución: a. Sea A={1, 2, 3}, si los contamos sin tomar en cuenta el orden de colocación se puede contarde una sola manera.
Solución: b Si el orden de colocación si importa, entonces hay seis formas distintas que son: 123, 132, 213, 231, 312 y 321.
Definición 2: Principio fundamental para contar: Sea A el conjunto de tres enteros {0, 1, 2} y B el conjunto de dos enteros {7, 8} ¿se puede encontrar el número de parejas de ordenadas distintas (a, b), en las cuales la primera componente de lapareja sea un elemento de A? Para cada una de estas tres maneras en que puede escogerse la primera componente, en una pareja ordenada, existen dos maneras en las cuales se elige la segunda componente. Así el conjunto de todas estas parejas ordenadas es: {(0, 7), (0, 8), (1, 7), (1, 8), (2, 7), (2, 8)}, que contiene 2.3=6 parejas. El conjunto de tales parejas se llama producto cartesiano. Este ejemploilustra el primer principio fundamental de contar.
Ejemplo: ¿Cuantos números pares existen que tengan numeral de tres dígitos?
Solución: Como ayuda para razonar sobre este tipo de problemas se puede hacer un diagrama como este:
| | | |


las cifras de las centenas es una cualquiera de los nueve elementos de {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, por consiguiente se escribe en elprimer espacio.
|9 | | |


La cifra de las decenas es un elemento cualquiera de {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, así que se escribe diez en el segundo espacio.
|9 |10 | |

Las cifras de las unidades es una cualquiera de los cinco enteros {0, 2, 4, 6, 8}, entonces se escribe cinco en el tercer espacio.
|9 |10 |5 |


Nuestroprimer principio fundamental (producto cartesiano) nos dice que hay 9.10 maneras distintas de escoger las cifras de las centenas y decenas; por lo tanto, existen (9.10).5, o sean 450 números pares pertenecientes a Z+ diferentes de tres cifras.
Puesto que la unión de {0, 1, 2} y {7, 8} es el conjunto {0, 1, 2, 7, 8}, puede observarse que el número de elementos en los conjuntos dados es: 5=3 + 2.Por otra parte, la unión de {0, 1, 2} y {2, 7} tiene solamente 4 elementos, ya que el número 2 es elemento de los dos conjuntos dados, esto es, {2}={0, 1, 2}({2, 7}.
Este ejemplo ilustra el segundo principio fundamental que utilizamos para contar.
Si un conjunto finito A contiene r elementos, un conjunto finito B contiene s elementos, y su intersección contiene t elementos, entonces la unión deA y B contiene r + s - t elementos. Cuando los conjuntos A y B son disjuntos, entonces el número de elementos en la unión es r + s.
Ejemplo: ¿cuántos enteros positivos impares menores que 10.000 pueden representarse usando los dígitos 0, 3, 6, 9?
Solución: Puesto que existen números con 1, 2, 3, o 4 dígitos podemos considerar estos casos separadamente.
En cada caso, se debe llenar el...