Teoria De Tecnicas De Conteo
Páginas: 9 (2012 palabras)
Publicado: 24 de agosto de 2011
Análisis combinatorio. Técnicas de conteo.
La consideración de los problemas de probabilidad necesitará, a menudo, la enumeración de todas las formas posibles en que los sucesos pueden presentarse. En esta sección desarrollamos varios métodos que permitirán determinar sin enumeración directa el número de resultados posibles de un experimento particular o el número de elementos de unconjunto particular. Tales técnicas son conocidas algunas veces con el nombre de análisis combinatorio.
Principio fundamental del conteo
Si un evento puede realizarse de n1 maneras diferentes, y si, continuando el procedimiento, un segundo evento puede realizarse de n2 maneras diferentes, y si, después de efectuados, un tercer evento puede realizarse de n3 maneras diferentes, y así sucesivamente,entonces el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto
Ejemplo 1: Las placas para automóvil en el DF están conformadas por tres dígitos y tres letras. Determina el número de placas diferentes que pueden grabarse.
Solución. Sin tomar en cuenta la letra ñ, se dispone de 26 letras en el alfabeto y 10 dígitos. Tanto dígitos como letras se puedenrepetir.
Pueden grabarse 17 576 000 placas diferentes.
Notación factorial
El producto de los enteros positivos desde 1 hasta n se denota por el símbolo n! y se lee "factorial de n":
Conviene definir 0! = 1.
La notación factorial tiene la propiedad recursiva siguiente:
Permutaciones
Un ordenamiento de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama una permutación de losobjetos tomados todos a la vez. Un ordenamiento de un número r de dichos objetos, , en un orden dado se llama una permutación r o una permutación de los n objetos tomados r a la vez. Para ejemplificar, consideremos el conjunto de las letras a, b, c, d. Permutaciones de las 4 letras (tomadas todas a la vez) son: abcd, bacd y dcab. Permutaciones de las 4 letras tomadas 3 a la vez son: abd, bcd y bca.Finalmente, ab, cb, bd y ba son permutaciones de las 4 letras tomadas 2 a la vez.
El número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez lo denotamos por
o
Ejemplo 2: Hallar el número de palabras de tres letras diferentes que pueden formarse con las seis letras: a, b, c, d, e, f.
Solución. La siguiente figura muestra tres celdas, una para cada letra de la palabra. La primeraletra puede elegirse de cualquiera de las 6 disponibles. Ahora quedan 5 letras disponibles y cualquiera de ellas puede elegirse para la segunda celda. Por último, para la tercera celda puede escogerse cualquiera de las 4 letras restantes.
Por el principio fundamental del conteo hay 654 = 120 posibles palabras de tres letras sin repetición. De manera equivalente, existen 120 permutaciones de 6objetos tomados 3 a la vez:
Observación: Basándonos en un procedimiento análogo, el número de permutaciones de 6 objetos tomados todos a la vez es
La expresión general para se deduce por un procedimiento similar al del ejemplo 2. El primer elemento de una permutación r de n objetos puede escogerse de n diferentes maneras; a continuación, el segundo elemento de la permutación puede escogersede (n1) maneras; y, sucesivamente el tercer elemento puede escogerse de (n2) maneras. Continuando de esta forma, tenemos que el r-ésimo (último) elemento de la permutación r pude escogerse de (n(r1)) = (nr+1) maneras. Así,
En el caso especial de tenemos
Teorema: El número de maneras de seleccionar y colocar r objetos elegidos entre n objetos distintos es
Permutaciones con repeticionesCon mucha frecuencia se desea saber el número de permutaciones de objetos, de los cuales algunos son iguales.
Ejemplo 3: Determinemos todas las posibles palabras de seis letras usando las letras que conforman la palabra AZAHAR.
Solución. La letra A se repite y la vamos a etiquetar con subíndices. De esta manera, se tienen 6! = 720 permutaciones de los objetos A1, Z, A2, H, A3, R....
La consideración de los problemas de probabilidad necesitará, a menudo, la enumeración de todas las formas posibles en que los sucesos pueden presentarse. En esta sección desarrollamos varios métodos que permitirán determinar sin enumeración directa el número de resultados posibles de un experimento particular o el número de elementos de unconjunto particular. Tales técnicas son conocidas algunas veces con el nombre de análisis combinatorio.
Principio fundamental del conteo
Si un evento puede realizarse de n1 maneras diferentes, y si, continuando el procedimiento, un segundo evento puede realizarse de n2 maneras diferentes, y si, después de efectuados, un tercer evento puede realizarse de n3 maneras diferentes, y así sucesivamente,entonces el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto
Ejemplo 1: Las placas para automóvil en el DF están conformadas por tres dígitos y tres letras. Determina el número de placas diferentes que pueden grabarse.
Solución. Sin tomar en cuenta la letra ñ, se dispone de 26 letras en el alfabeto y 10 dígitos. Tanto dígitos como letras se puedenrepetir.
Pueden grabarse 17 576 000 placas diferentes.
Notación factorial
El producto de los enteros positivos desde 1 hasta n se denota por el símbolo n! y se lee "factorial de n":
Conviene definir 0! = 1.
La notación factorial tiene la propiedad recursiva siguiente:
Permutaciones
Un ordenamiento de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama una permutación de losobjetos tomados todos a la vez. Un ordenamiento de un número r de dichos objetos, , en un orden dado se llama una permutación r o una permutación de los n objetos tomados r a la vez. Para ejemplificar, consideremos el conjunto de las letras a, b, c, d. Permutaciones de las 4 letras (tomadas todas a la vez) son: abcd, bacd y dcab. Permutaciones de las 4 letras tomadas 3 a la vez son: abd, bcd y bca.Finalmente, ab, cb, bd y ba son permutaciones de las 4 letras tomadas 2 a la vez.
El número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez lo denotamos por
o
Ejemplo 2: Hallar el número de palabras de tres letras diferentes que pueden formarse con las seis letras: a, b, c, d, e, f.
Solución. La siguiente figura muestra tres celdas, una para cada letra de la palabra. La primeraletra puede elegirse de cualquiera de las 6 disponibles. Ahora quedan 5 letras disponibles y cualquiera de ellas puede elegirse para la segunda celda. Por último, para la tercera celda puede escogerse cualquiera de las 4 letras restantes.
Por el principio fundamental del conteo hay 654 = 120 posibles palabras de tres letras sin repetición. De manera equivalente, existen 120 permutaciones de 6objetos tomados 3 a la vez:
Observación: Basándonos en un procedimiento análogo, el número de permutaciones de 6 objetos tomados todos a la vez es
La expresión general para se deduce por un procedimiento similar al del ejemplo 2. El primer elemento de una permutación r de n objetos puede escogerse de n diferentes maneras; a continuación, el segundo elemento de la permutación puede escogersede (n1) maneras; y, sucesivamente el tercer elemento puede escogerse de (n2) maneras. Continuando de esta forma, tenemos que el r-ésimo (último) elemento de la permutación r pude escogerse de (n(r1)) = (nr+1) maneras. Así,
En el caso especial de tenemos
Teorema: El número de maneras de seleccionar y colocar r objetos elegidos entre n objetos distintos es
Permutaciones con repeticionesCon mucha frecuencia se desea saber el número de permutaciones de objetos, de los cuales algunos son iguales.
Ejemplo 3: Determinemos todas las posibles palabras de seis letras usando las letras que conforman la palabra AZAHAR.
Solución. La letra A se repite y la vamos a etiquetar con subíndices. De esta manera, se tienen 6! = 720 permutaciones de los objetos A1, Z, A2, H, A3, R....
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