Teoria de juegos

¿De dónde proviene la teoría de juegos?
La Teoría de Juegos fue creada por Von Neumann y Morgenstern en su libro clásico "The Theory of Games Behavior", publicado en 1944. Los economistas Cournot y Edgeworth fueron particularmente innovadores en el siglo XIX. Otras contribuciones posteriores mencionadas fueron hechas por los matemáticos Borel y Zermelo. El mismo Von Neumann ya había puesto losfundamentos en el artículo publicado en 1928. Sin embargo, no fue hasta que apareció el libro de Von Neumann y Morgenstern que el mundo comprendió cuán potente era el instrumento descubierto para estudiar las relaciones humanas.

Durante las dos décadas que siguieron a la Segunda Guerra Mundial, uno de los progresos más interesantes de la Teoría Económica fue la Teoría de los Juegos y elcomportamiento económico, publicada en un libro de este titulo bajo la autoridad conjunta de Jhon Von Neumann y Oskar Morgenstern.

Von Neumann y Morgenstern investigaron dos planteamientos distintos de la Teoría de Juegos. El primero de ellos el planteamiento estratégico o no cooperativo. Este planteamiento requiere especificar detalladamente lo que los jugadores pueden y no pueden hacer durante eljuego, y después buscar cada jugador una estrategia óptima. Lo que es mejor para un jugador depende de lo que los otros jugadores piensan hacer, y esto a su vez depende de lo que ellos piensan del primer jugador hará. Von Neumann y Morgenstern resolvieron este problema en el caso particular de juegos con dos jugadores cuyos intereses son diametralmente opuestos. A estos juegos se les llamaestrictamente competitivos, o de suma cero, porque cualquier ganancia para un jugador siempre se equilibra exactamente por una pérdida correspondiente para el otro jugador.
La segunda parte del libro de Von Neumann y Morgenstern, se desarrolla el planteamiento coalicional o cooperativo, en el que buscaron describir la conducta óptima en juegos con muchos jugadores.
A principio de los años cincuenta, enuna serie de artículos muy famosos el matemático John Nash rompió dos de las barreras que Von Neumann y Morgenstern se había auto-impuesto.
Nash no aceptó la idea de que la Teoría de Juegos debe considerar indeterminados problemas de negociación entre dos personas y procedió a ofrecer argumentos para determinarlos. Sus ideas sobre este tema fueron generalmente incomprendidas y, tal vez comoconsecuencia de ello, los años que la Teoría de Juegos paso en Babia se gastaron principalmente desarrollando el planteamiento cooperativa de Von Neumann y Morgenstern en direcciones que finalmente resultaron improductivas.
Lo que es tal vez mas importante sobre los últimos veinte años de Teoría de juegos es que los mayores progresos se han dado en la teoría no cooperativa,

JUEGO DE SUMA CEROUn juego de suma cero es un juego en el que los pagos siempre suman cero. En el caso de dos jugadores, la condición es:
u1 (w) + u2 (w) = 0
Para todo w del conjunto Ω de resultados finales. Como anteriormente, u1 : Ω → R y u2 : Ω → R representa las funciones de utilidad de Von Neumann y Morgenstern de los jugadores.

Un juego G de dos jugadores y de suma cero es estrictamente competitivo.En este caso, ambos jugadores deben tener preferencias diametralmente opuestas no solo sobre los resultados finales, sino también sobre las loterías. Sin embargo, si u1 + u2 = 0, entonces £ u1 + £ u2 = 0. Así,
L≤ 1 M E u1 (L) ≤ E u1 (M)
E u1 (L) ≥ - E u1 (M)
E u2 (L) ≥ E u2 (M) L ≥ 2 M
En ocasiones, al modelizar algunos problemas como juegos de suma cero, se olvidan lasactitudes de los jugadores hacia el riesgo.

JUEGO DE SUMA CONSTANTE
Es un juego en el que los pagos de los jugadores siempre suman una constante determinada c. por ejemplo, en el duelo, de un jugador I usa la estrategia pura d y el jugador II usa la estrategia pura, entonces la probabilidad de que el jugador I sobreviva se represento por π (d, e). Con estas utilidades de Von Neumann y...