teoria de las probabilidades

TECNICAS DE CONTEO
Intervienen todos los elementos

Permutaciones

Influye el orden - Variaciones
No Intervienen todos los elementos

No influye el orden- Combinaciones

CB-402

Métodos de enumeración: Principio multiplicativo
a2

a1

b1
c1

b3

b2

c2 c1

c2

c1 c2

b1
c1

b2
c2 c1 c2

b3
c1

c2

El primer elemento puede escogerse de dos
formasdistintas: a1 y a2.
El segundo de tres maneras distintas: b1, b2 y b3.
El tercer elemento puede escogerse en dos modos
distintos: c1 y c2.
CB-402

El total de posibilidades será: 2 . 3 . 2 = 12

Si una elección tiene m alternativas posibles y otra n,
entonces la realización de ambas tiene m x n.
Ejemplo
Mozart compuso un vals con 11
posibilidades distintas para 14 de los 16
compases y 2posibilidades para cada
uno de los restantes. ¿Se habrán llegado
a escuchar alguna vez
todas las
realizaciones posibles?
14
2
11
×
11
×
K
×
11
×
2
×
2
=
11
×
2
=
144244
3
14

1.518.999. 334.332.96 4 ≈ 1,5 × 1015
CB-402

Métodos de enumeración: Principio de la suma
Supongamos que un procedimiento A se puede realizar de nA maneras y
que un procedimiento B se puederealizar de nB maneras, supongamos
además que no es posible que A y B se realicen juntos. Entonces el número
de maneras en que se puede hacer A ó B es nA + nB.

CB-402

Ejemplo
Hay dos líneas de aviones para ir a una ciudad (Lan1, Lan2) y
tres líneas de buses (TurBus, PullmanBus, BusesAlSur). ¿De
cuántas maneras diferentes se puede viajar?
Solución
nA = 2, nB = 3: total = 2 + 3 = 5

CB-402Ejemplo
¿De cuántas formas se pueden escoger dos fichas de
dominó de las 28 que hay, teniendo en cuenta el orden, y de
forma que se puedan aplicar una a la otra (es decir, de modo
que se encuentre el mismo número de tantos en ambas
fichas)?

CB-402

Solución
Escojamos la primera ficha. Esto se puede hacer de 28 maneras:
Primera ocurrencia:
En 7 casos la ficha elegida será un“doble”, es decir:
tendrá la forma 00, 11, 22, 33, 44, 55, 66.
Segunda ocurrencia:
Y en 21 casos será una ficha con distinto número de
tantos. Por ejemplo 05, 13, 46, etc.
En la primera ocurrencia (primera ficha es doble), la segunda ficha
se puede elegir de 6 maneras. Por ejemplo, si la primera ficha doble
es 11. La segunda ficha se puede tomar una de las fichas 10, 12, 13,
14, 15 o 16.CB-402

En la segunda ocurrencia, la segunda ficha se puede escoger de 12
maneras. Por ejemplo si la primera ficha es 35 servirán las 03, 13, 23,
33, 43, 63, 50, 51, 52, 54, 55, 56.
Según la regla del producto, en el primer caso obtenemos 7 x 6 = 42
elecciones, y en el segundo, 21 x 12 = 252.
Así que en total tendremos 42 + 252 = 294 formas.

CB-402

Ejemplo
En una reunión debenintervenir 5 personas: A, B, C, D y E.
¿De cuántas maneras se pueden distribuir en la lista de
oradores, con la condición de que B no debe intervenir
antes que A?
El número total de posibles listas de oradores distintas es 5!.
Podemos asociar a cada permutación del tipo: (...A...B...) la
misma permutando (...B...A...). Esta última no nos vale. De
modo que por cada par hay sólo una manera quesatisface la
condición planteada. Tendremos 5! / 2 = 60 maneras.
CB-402

A1 ⇒ 4 x 3! = 24

A1

A2 ⇒ 3 x 3! = 18
A3 ⇒ 2 x 3! = 12

⇒ 60 formas

A4 ⇒ 1 x 3! = 6

Observación

Formas de elegir a B
después de A

El mismo problema, pero con la condición de que A deba
intervenir inmediatamente antes que B.
Si A interviene inmediatamente antes que B, podemos
considerarlos como si fuesenun solo orador. Es decir,
ahora
sólo
contamos
las
permutaciones
tipo:
...AB...Tendremos entonces: 4! = 24 formas.
CB-402

Ejemplo: Emparejamientos
Dados 2n objetos distintos, ¿cuántas maneras hay de formar n
parejas?
Intentemos agrupar los 2n objetos usando n pares de
paréntesis: ( , ) ( , ) ( , ) ... ( , )
Hay 2n espacios vacíos y 2n objetos, luego los podemos
colocar de...