Teoria De Los Conjuntos

TEORÍA DE CONJUNTOS

DEFINICIÓN DE CONJUNTO

Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas.
Cuando un elemento 1 x pertenece a un conjunto A se expresa de forma simbólica como: x A 1 .
En caso de que un elemento 1 yno pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación: y A 1
Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:
1) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves.
2) Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece entrellaves. En este caso se emplea el símbolo | que significa “tal que". En forma simbólica es:
 A x P (x) x1 ,x2 ,x3 ,,x(n)
que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición Pxes verdadera, como x1 ,x2 ,x3 , entre otros.
3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar elcontenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos.
4) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos.
Ejemplo.
Dada la descripción verbal “el conjunto de las letras vocales”, expresarlo por extensión, comprensión y por diagrama de Venn.
Solución.
a o i
e u
Por extensión: V a,e,i,o,u 
Porcomprensión: V x x es una vocal 
Por diagrama de Venn:
V

Ejemplo.
Expresar de las tres formas al conjunto de los planetas del sistema solar.
Solución.
Por extensión: P Mercurio,Venus,Tierra,Marte,Júpiter,Saturno,Urano,Neptuno,Plutón 
Por comprensión: P x x es un planeta del sistema solar 
Por diagrama de Venn:

Mercurio Venus Tierra
MarteSaturno Urano
Neptuno Júpiter Plutón P

Si cada elemento de un conjunto A es también un elemento del conjunto B , se dice que A es un subconjunto de B . La notación AB significa que A está incluido en B y se lee: “ A es subconjunto de B ” o “ A está contenido en B ”.
Si no todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B , se dice que A noes subconjunto de B . En este caso la notación AB significa que A no es un subconjunto de B .
B

B

Gráficamente, esto es:
B

A
A

A



A   
  

En los ejemplos anteriores, si F a,e,o es el conjunto de las vocales fuertes y
S Mercurio,Venus es el conjunto de planetas que no poseen satélites,entonces se cumple que: F V y que S P . De la misma forma, nótese como: F P , S V , F S y S F .

La cardinalidad de un conjunto se define como el número de elementos que posee. Se denota por medio de los símbolos o # .

De los conjuntos anteriores: V 5 , F 3 , P9 y S 2 .

CONJUNTOS CON NOMBRES ESPECÍFICOS

Un conjunto vacío o nulo es aquel que no poseeelementos. Se denota por: o bien por . El conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto.
Ejemplos.
x x son los dinosaurios que viven en la actualidad 
x x son los hombres mayores de 300 años 
x x son números positivos menores que cero
Un conjunto universal es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración.Se denota por U . Gráficamente se le representará mediante un rectángulo.
Ejemplos.
Ux x son los días de la semanalunes ,martes ,miércoles,jueves,viernes,sábado ,domingo 
A x x son los días de la semana inglesalunes,martes,miércoles, jueves,viernes
B x x son los días del fin de semana sábado,domingo 
C x x son los días de la semana con menos de siete letras...