Teoria De Los Números

Inducción Matemática Teoría de Números Alumno: Camilo reyes codigó: 20122167059 Veri…que en cada uno de los ejercicios desarrollados a continuación elprocedimiento en la demostración. Detecte los errores cometidos. En la carpeta del curso en DropBox aparece este archivo digitado en SWP, modi. . . que enel archivo los errores detectados y entregue el pdf compilado. 1. Si x 2 R; x > -1, n 2 N; n (1 + x)n 1 + nx Demostración (Inducción) (a) Sea n = 2,esto implica que (1 + x)2 = 2 + 2x y como x ) :2+ 2x 1+ 2x ) :2+2x 1 + 2x ) 2+2x 2 1+2x 2 1 +x 2 x 2 se cumple 0 2 demuestre la siguiente desigualdad:=)1+x ) 1 +x 2

(b) Asumimos ahora como hipotesis inductiva que si n 2 N; n que (1+x)n 1 + nx. Debemos demostrar que (1 + x)(n+1) )(1 + x)(n+1))1n+1+xn+x 1 + (n + 1)x: 1 + xn+x 1 + (n + 1)x:

llamaremos (xn+x) = s pues por propiedad clausurativa es un número R )1n+1+s 1+s 1

)1n+(1+s) (1 + s)Entonces tenemos que (1 + x)n+1 1 + x(n + 1) y con esto se demuestra la tesis. 2. Pruebe que la desigualdad 1 + 1/2 + 1/3 +...... + 1/n n es válida 8n 2 N; n1. n/ 2 + 1

Demostración (Inducción): (a) Para n = 1 es válido pues 1 1/2 + 1:

(b) Asumimos como hipótesis de inducción que efectivamente se cumple1 + 1/2 + 1/3 + ......+ 1/n Debemos demostrar que 1 + 1=2 + 1=3 + ::::: + 1=(n + 1) {z } | n+1 X 1 i+1 i=0 n+1 X 1 X n n 1+

n/2 + 1:

(n + 1)/2 +1

i+1 i=0

1 2

+

1 3

1 1 + ::::::::::: n+1 ; (n+1)+1

o

1 i+1 i=0

+

1 n+2

Según el punto (b) asumimos que : n X 1 i+1 i=0 y