Teoria Del Control

PROBLEMAS
CONTROL DE PROCESOS I

1. A partir de la definición de transformada de Laplace, obtener la transformada F(s) de las siguientes funciones:
a) ft=t
b) ft=e-at; donde a es constante.
c) ft=cosωt, donde ω es constante.
d) ft=e-at, donde a y ω son constantes.
Nota: para los incisos (d) y (c) se requiere la identidad trigonométrica:
cos x = eix+e-ix2
2.Con el uso de la tabla de transformada de Laplace y las propiedades de la transformada, encuentre la transformada F(s) de las siguientes funciones:
e) ft=ut+2t+3t2.
f) ft=e-2tut+2t+3t2.
g) ft=ut+e-2t-2e-t.
h) ft=ut-e-t+te-t.
i) ft=u(t-2)1-e-2(t-2)-sen (t-2).

3. Verifique la validez de los resultados del problema 2, mediante el uso del teorema del valorinicial y del valor final. ¿Estos teoremas se aplican en todos los casos?

4. Una función útil que se emplea como función de forzamiento en el análisis de los sistemas de control de procesos es la rampa parcial como se ilustra en la figura. Obtener la transformada de Laplace de la función rampa parcial, mediante cada uno de los siguientes métodos:

j) La aplicación directa de ladefinición de transformada de Laplace, se consideran las siguientes secciones de la función:
ft= Ht1t t<t1H t≥t1
Donde H es la altura y t1 la duración de la rampa.

k) Usando la tabla de transformada de Laplace, la propiedad de linealidad y el teorema de la traslación real; la función se considera como la suma o superposición de las siguientes funciones:ft=Ht1t-ut-t1Ht1t+Hu(t-t1)
ft

H


t
t1
0
0


a) Función rampa parcial.


H
Ht1t
Hu(t-t1)
t1
t
-u(t-t1)Ht1t














b) Funciones que se superponen para producir la función de rampa parcial.
Verifíquese el resultado mediante la aplicación de los teoremas del valor inicial y valor final.

5. En el enunciado del teorema de la traslación real seseñaló que, para que el teorema se pueda aplicar, la función retardada debe ser cero para todos los tiempos inferiores al tiempo de retardo. Demuéstrese los anterior mediante el cálculo de la transformada de Laplace de la función:
ft=e-(t-t0)τ
Donde t0 y τ son constantes.
a) Se supone que se mantiene para todos los tiempos mayores a cero; esto es, se pueden reordenar como
ft=et0τe-tτb) Se supone que es cero para t≤t0; es decir, se puede escribir de manera apropiada como
ft=u(t-t0)e-(t-t0)τ
¿Las respuestas son iguales? ¿Cuál de las dos concuerda con el teorema de la traslación real?

6. Encuentre la solución y(t) de las siguientes ecuaciones diferenciales, utilizando el método de transformada de Laplace y la expansión de fracciones parciales. Las condiciones inicialesde y(t) y sus derivadas son cero, la función de forzamiento es la función escalón unitario.
xt=u(t)
a) 2dy(t)dt+yt=5x(t)
b) d2y(t)dt2+9dytdt+9y(t)=x(t)
c) d2y(t)dt2+3dytdt+9y(t)=x(t)
d) d2y(t)dt2+6dytdt+9y(t)=x(t)
e) 2d3y(t)dt3+7d2ytdt2+21dy(t)dt+9y(t)=x(t)

7. Repitiendo el problema 6 inciso d), usando como función de forzamiento.

a) xt=e-3t
b) xt=u(t-1)e-3(t-1)c) 2dy(t)dt+yt=5x(t)

8. La forma normal de la ecuación diferencial del retardo de primer orden con tiempo muerto es:
τdy(t)dt+yt=Kx(t-t0)
Donde:
τ = es la constante de tiempo.
K = es la ganancia.
t0 = es el tiempo muerto.
Si se supone que la condición inicial e y0=y0, encuéntrese, mediante la transformada de Laplace la solución y(t) de cada una de las siguientes funciones deforzamiento:
a) Impulso unitario xt=δt.
b) Escalón unitario xt=ut.
c) Rampa parcial del problema 4.

9. Una forma normal de la ecuación diferencial para el retardo de segundo orden se expresa mediante τ2d2y(t)dt2+2ξτdy(t)dt+yt=Kx(t)
Donde:
τ = es la constante de tiempo característica.
ξ = es la tasa de amortiguamiento.
K = es la ganancia.
Si se supone que todas las condiciones...