teoria probabilidad

Teoría elemental
de probabilidad

CAPÍTULO 6
DEFINICIONES DE PROBABILIDAD
Definición clásica
S u p ó n g a s e que un evento E puede suceder de h maneras, de un total de n posibles formas
igualmente probables. Entonces, la probabilidad de ocurrencia de dicho evento (llamado
éxito) se denota por
p =

Pr{E}=n

L a probabilidad de no ocurrencia del evento (llamado/racaso) se denota por
q = Pr{noE}=?-^-

= 1 — - = 1 -p=

1 - Pr{£}

Por lo tanto, p + q - l o P r { £ } + Pr{no £ } = 1. E l evento "no £ " en ocasiones se denota por
E,E o ~E.
EJEMPLO 1

Sea ¿sel evento en que al lanzar un dado una vez se obtenga un 3 o un 4. Existen seis formas en que el
dado puede caer, siendo éstas las caras 1,2, 3,4, 5 o 6; si el dado es bueno (es decir, no está cargado),
se supone que las 6 caras tienen lamisma probabilidad de ocurrir. Puesto que E puede ocurrir en dos
de estas maneras, entonces p = Pr{£} = 1 = 3.
La probabilidad de no obtener un 3 o un 4 (es decir, obtener 1, 2, 5 o 6) es q = Pr{£) = 1 - i = f.
O b s é r v e s e que la probabilidad de un evento es un n ú m e r o entre 0 y 1. Si el evento no
llega a suceder, su probabilidad es 0. Si debe ocurrir (es decir, si su ocurrencia es unacerteza), su probabilidad es 1.
Si p es la probabilidad de que un evento ocurra, las probabilidades a favor de su ocurrencia son p : q (léase "p a q"); las probabilidades en contra de su ocurrencia son q : p. Así.
las probabilidades en contra de la ocurrencia de un 3 o un 4 en un solo lanzamiento de un
dado bueno son q : p = § : 3 = 2 : 1 (es decir, de 2 a 1).

Definición como frecuencia relativa
La definición clásica de probabilidad cuenta con la desventaja de que el t é r m i n o " p a t a t a te posible" es vago. De hecho, ya que el t é r m i n o parece s i n ó n i m o de "igualnme f
ble", la definición es circular debido a que la probabilidad se está definiendo.

. :

_ _2 t

•

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de

probabilidad

te, con sus propios t é r m i n o s . Por esto, algunas personas hanpropuesto una definición es
dística de probabilidad. Para ellos, la probabilidad estimada o probabilidad empírica de
evento es la frecuencia relativa de ocurrencia del evento cuando el n ú m e r o de observac:
nes es muy grande. L a probabilidad es el límite de la frecuencia relativa, conforme el núrr
ro de observaciones crece en forma indefinida.
EJEMPLO 2

Si l OOO lanzamientos de una moneda dancomo resultado 529 caras, entonces la frecuencia relati
de caras es de 529/1 000 = 0.529. Si en otros 1 000 lanzamientos resultan 493 caras, tenemos que
frecuencia relativa de los 2 000 lanzamientos totales es de (529 + 493)/2 000 = 0.511. De acuerdo c
la definición estadística, si se continuara de esta manera, se acercaría cada vez más a un número q
representa la probabilidad de obtener una cara enun solo lanzamiento de la moneda. De los resultad
presentados hasta ahora, éste debe ser 0.5, con un solo dígito. Para obtener más dígitos habrá q
realizar más observaciones.
L a definición estadística, aunque útil en la práctica, implica dificultades desde el pun
de vista m a t e m á t i c o , ya que q u i z á no exista un n ú m e r o límite real. Por esto, la moder
teoría de la probabilidad esaxiomática;
es decir, la teoría deja el concepto de probabilid;
sin definir, de la misma manera en que punto y línea no tienen una definición en geometri

"••^

PROBABILIDAD CONDICIONAL:
EVENTOS INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES
Si E¡ y E son dos eventos, la probabilidad de que E ocurra, dado que ¿s, haya ocurrido. I
denota por Pr{E \E )
o P r { £ d a d o £ , } , y se denomina probabilidad
condicionalde í
puesto que E¡ ha ocurrido.
2

2

2

x

2

Si la ocurrencia o no ocurrencia de £", no afecta la probabilidad de ocurrencia de £
entonces Pr[E lE¡} = Pr{E }.
Por ello se dice que E y E son eventos independientes; e
caso contrarío, son eventos dependientes.
2

2

x

2

Si se denota mediante E E al evento en el cual "ambos, E y E , ocurren", llamado e
ocasiones evento compuesto, entonces
X

2...