Teoria tema 1
Páginas: 8 (1885 palabras)
Publicado: 12 de junio de 2015
Tema 1 – Los números reales – Matemáticas I – 1º Bachillerato
1
TEMA 1 – LOS NÚMEROS REALES
1.1 – LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL
INTRODUCCIÓN:
Los números racionales:
• Se caracterizan porque pueden expresarse:
− En forma de fracción, es decir, como cociente de dos números enteros: x ∈ Q ⇔
a
b≠0
a, b ∈ Z tales que x =
b
− En forma decimal: O bien son enteros o bien tienen expresión decimalfinita o
periódica.
• El conjunto de todos los números racionales se designa por Q. El conjunto Q es denso
en R (al situar todos los números racionales sobre la recta numérica la ocupan
densamente). Esto quiere decir: Entre dos números racionales hay infinitos números
racionales. (si x1, x2 ∈ Q ⇒ El punto medio:
x1 + x 2
∈ Q)
2
No obstante, en la recta numérica hay infinitos puntos no ocupadospor números racionales. A
cada uno de estos puntos le corresponde un número irracional.
Los número irracionales:
• Se caracterizan porque:
− No pueden expresarse en forma de fracción.
− Su expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas.
• El conjunto de todos los números irracionales se designa por I.
Tanto los números racionales como los irracionales se llaman números reales. El conjuntode
los números reales se designa por R. Los números reales llenan la recta numérica por eso se la
llama recta real.
ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
24
NATURALES (N) ⇒ 0 ; 4 ; 6 ; 81......
ENTEROS (Z)
ENTEROS NO NATURALES ⇒ - 11 ; - 24 ; 3 − 8....
(Enteros negativos)
4
3 -5
RACIONALES (Q)
Fracciones : , ...
REALES (R)
4 8
Exactos : 0,31;...
IOS .
FRACCIONAR
)
(Racionale s no enteros)
Números decimales
Puros : 7, 1 ;...
)
Periódicos
Mixtos : 7,3 1 ,...
IRRACIONALES (I) ⇒ 2 ; - 3 ; 3 5 ; π , decimales no periódicos.....
Tema 1 – Los números reales – Matemáticas I – 1º Bachillerato
2
REPRESENTACIÓN SOBRE LA RECTA
La representación de un número real sobre la recta se hará de un modou otro según el tipo de
número que sea:
•
•
Entero o decimal exacto: 2; 3,47
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4
3,4
3,41
3,42
3,43
3,44
3,45
3,46
3,47
3,48
3,49
3,5
Decimal periódico: Puede expresarse en forma de fracción y, de este modo, se representa
dividiendo cada unidad entre las partes que tenga el denominador y tomando tantas deesas partes como indique el numerador: 5/6, -8/5
0
1
•
Racional cuadrático: Construyendo triángulos rectángulos y teniendo el cuenta el
teorema de Pitágoras: 2 , 6 , 10
•
Números decimales periódicos o no periódicos : Se representan de forma aproximada
mediante un intervalo de valores: 3,47484950.... ≈ 3,47...
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
43,4
3,41
3,42
3,43
3,44
3,45
3,46
3,47
3,48
3,49
3,5
Tema 1 – Los números reales – Matemáticas I – 1º Bachillerato
3
INTERVALOS Y SEMIRRECTAS
Sirven para expresar tramos de la recta real
NOMBRE
Intervalo abierto
SÍMBOLO
(a,b)
Intervalo cerrado
[a,b]
Intervalo
semiabierto
(a,b]
[a,b)
(-∞,a)
Semirrecta
(-∞,a]
(a,∞)
[a,∞)
SIGNIFICADO
{x/a
Nº comprendidos entre a y b,
éstos incluidos.
{x/a
incluido b
{x/a≤x
incluido a
{x/x
{x/x≤a}
Nº menores o iguales que a
{x/a
{x/a≤x}
Nº mayores o iguales que a
REPRESENTACIÓN
Nota : Si queremos nombrar un conjunto de puntos formados por dos o más de estos
intervalos, se utiliza elsigno ∪ (unión) entre ellos.
ENTORNOS
Se llama entorno de centro a y radio r y se designa E(a,r) al conjunto de puntos (a–r , a+r)
Se llama entorno reducido de centro a y radio r y se designa E*(a,r) al entorno E(a,r)
menos el centro(a): E*(a,r) = (a – r, a + r) – {a}
Se llama entorno por la derecha de centro a y radio r y se designa E+(a,r) = (a, a + r)
Se llama entorno por la izquierda...
1
TEMA 1 – LOS NÚMEROS REALES
1.1 – LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL
INTRODUCCIÓN:
Los números racionales:
• Se caracterizan porque pueden expresarse:
− En forma de fracción, es decir, como cociente de dos números enteros: x ∈ Q ⇔
a
b≠0
a, b ∈ Z tales que x =
b
− En forma decimal: O bien son enteros o bien tienen expresión decimalfinita o
periódica.
• El conjunto de todos los números racionales se designa por Q. El conjunto Q es denso
en R (al situar todos los números racionales sobre la recta numérica la ocupan
densamente). Esto quiere decir: Entre dos números racionales hay infinitos números
racionales. (si x1, x2 ∈ Q ⇒ El punto medio:
x1 + x 2
∈ Q)
2
No obstante, en la recta numérica hay infinitos puntos no ocupadospor números racionales. A
cada uno de estos puntos le corresponde un número irracional.
Los número irracionales:
• Se caracterizan porque:
− No pueden expresarse en forma de fracción.
− Su expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas.
• El conjunto de todos los números irracionales se designa por I.
Tanto los números racionales como los irracionales se llaman números reales. El conjuntode
los números reales se designa por R. Los números reales llenan la recta numérica por eso se la
llama recta real.
ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
24
NATURALES (N) ⇒ 0 ; 4 ; 6 ; 81......
ENTEROS (Z)
ENTEROS NO NATURALES ⇒ - 11 ; - 24 ; 3 − 8....
(Enteros negativos)
4
3 -5
RACIONALES (Q)
Fracciones : , ...
REALES (R)
4 8
Exactos : 0,31;...
IOS .
FRACCIONAR
)
(Racionale s no enteros)
Números decimales
Puros : 7, 1 ;...
)
Periódicos
Mixtos : 7,3 1 ,...
IRRACIONALES (I) ⇒ 2 ; - 3 ; 3 5 ; π , decimales no periódicos.....
Tema 1 – Los números reales – Matemáticas I – 1º Bachillerato
2
REPRESENTACIÓN SOBRE LA RECTA
La representación de un número real sobre la recta se hará de un modou otro según el tipo de
número que sea:
•
•
Entero o decimal exacto: 2; 3,47
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4
3,4
3,41
3,42
3,43
3,44
3,45
3,46
3,47
3,48
3,49
3,5
Decimal periódico: Puede expresarse en forma de fracción y, de este modo, se representa
dividiendo cada unidad entre las partes que tenga el denominador y tomando tantas deesas partes como indique el numerador: 5/6, -8/5
0
1
•
Racional cuadrático: Construyendo triángulos rectángulos y teniendo el cuenta el
teorema de Pitágoras: 2 , 6 , 10
•
Números decimales periódicos o no periódicos : Se representan de forma aproximada
mediante un intervalo de valores: 3,47484950.... ≈ 3,47...
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
43,4
3,41
3,42
3,43
3,44
3,45
3,46
3,47
3,48
3,49
3,5
Tema 1 – Los números reales – Matemáticas I – 1º Bachillerato
3
INTERVALOS Y SEMIRRECTAS
Sirven para expresar tramos de la recta real
NOMBRE
Intervalo abierto
SÍMBOLO
(a,b)
Intervalo cerrado
[a,b]
Intervalo
semiabierto
(a,b]
[a,b)
(-∞,a)
Semirrecta
(-∞,a]
(a,∞)
[a,∞)
SIGNIFICADO
{x/a
Nº comprendidos entre a y b,
éstos incluidos.
{x/a
incluido b
{x/a≤x
incluido a
{x/x
{x/x≤a}
Nº menores o iguales que a
{x/a
{x/a≤x}
Nº mayores o iguales que a
REPRESENTACIÓN
Nota : Si queremos nombrar un conjunto de puntos formados por dos o más de estos
intervalos, se utiliza elsigno ∪ (unión) entre ellos.
ENTORNOS
Se llama entorno de centro a y radio r y se designa E(a,r) al conjunto de puntos (a–r , a+r)
Se llama entorno reducido de centro a y radio r y se designa E*(a,r) al entorno E(a,r)
menos el centro(a): E*(a,r) = (a – r, a + r) – {a}
Se llama entorno por la derecha de centro a y radio r y se designa E+(a,r) = (a, a + r)
Se llama entorno por la izquierda...
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