Teoria Unidad 1

UNIVERSIDAD DE ORIENTE. NÚCLEO DE ANZOÁTEGUI.
UNIDAD DE CURSOS BÁSICOS. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
Matemáticas II (08-1824). Prof. María Gabriela Goitía I.

UNIDAD I: CÓNICAS, ANTIDERIVACIÓN Ó INTEGRALES INDEFINAS Y
ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES.

OBJETIVO #1: Cónicas:

1.1.- INTRODUCCIÓN:
Las cónicas son curvas planas que aparecían ya en la geometría griega y fueron
denominadassecciones cónicas, ya que los griegos de la época de Platón consideraban que
tales curvas procedían de la intersección de un cono con un plano.

Cuando los matemáticos de los siglos XVI y XVII estudiaron los trabajos griegos,
empezaron a comprobar la falta de generalidad de los métodos de demostración lo que llevo
a sustituir la visión puramente geométrica de las secciones cónicas por otra queincorporaba
las nociones de coordenadas y distancia. Esto llevo a la definición de estas curvas como
lugares geométricos de puntos que verificaban ciertas propiedades en términos de distancia

Para estudiar las cónicas se considerará un Cono de Dos Mantos, con una Generatriz
(elemento generador), al cono se le realizan disecciones con un plano constante y se
obtendrán varias figuras ó cónicas como loson: Parábola, Elipse, Hipérbola y
Circunferencia.

Generatriz
Figura 1. Cono de dos Mantos.

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DISECCIONES REALIZADAS AL CONO DE DOS MANTOS PARA OBTENER A LAS CÓNICAS
ELIPSE:

PARÁBOLA

HIPÉRBOLA

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1.2.- ECUACIONES DE LAS CÓNICAS:
ECUACIÓN DE UNA CÓNICA

Ecuación General

Ecuación Característica

Ax2+By2+Cx+Dy+E=0

Cada cónica posee una
ecuación característica

Se utiliza para:
Identificar: parábolas,
elipses, hipérbolas

Se utiliza para:
Diferenciar cada
cónicaparticular.
Identificar y ubicar
los elementos
característicos de
cada cónica.
Graficar las cónicas.

1.3.- IDENTIFICACIÓN DE UNA CÓNICA DADA LA ECUACIÓN GENERAL:
Dada la ecuación general de las cónicas, se pueden identificar parábolas, elipses o
hipérbolas según el caso, a través, de simple inspección de los coeficientes de las variables
que poseen potencia “2”. Así podemos decir que para la ecuacióngeneral:
Ax2+By2+Cx+Dy+E=0 ;

con :

A

0

B

0

Estamos en presencia de:
Una Parábola si: A ó B es IGUAL a cero (0).
Una Elipse si: A y B tienen ambos el MISMO signo.
Una Hipérbola si: A y B tienen signos OPUESTOS.

Nota: “La circunferencia por ser una caso especial de la elipse, se reconoce únicamente a
través de la Ecuación característica, estudiada más adelante”.

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1.4 ESTUDIO DE LA PARÁBOLA:
Definición: Es el conjunto de todos los puntos de un plano, equidistantes de un punto fijo
(FOCO) y una recta fija (DIRECTRIZ). Es decir:

PF

QF

P
Q

F

Eje

L

Elementos Característicos de una Parábola:
L: directriz
F: foco
V: vérticeP1P2 :lado
recto=LR=|4p|uds
VF y VDirectriz= p uds
P1F y P2F= 2p uds

P1

v

Eje Focal

F
P2

L

Además del foco y la directriz la parábola tiene:

• Eje Focal: es la recta perpendicular a la directriz y pasa por el foco
• vértice: es el punto donde la parábola corta su eje
• Lado recto: es el segmento de recta, perpendicular al eje, que pasa
por el foco y está acotado por la curva.
EcuaciónCaracterísticas de una Parábola con Vértice (h,k):
a) Si el Eje Focal es Vertical o la Parábola es Vertical:
(x - h)2 = 4p(y - k) ; V( h , k )
b) Si el Eje Focal es Horizontal o la Parábola es Horizontal:
(y - k)2 = 4p(x - h) ; V( h , k )

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