TeoriaTema6CalculoCA11 12

Tema 6

Integral Definida
6.1

Introducci´
on

En este tema estudiaremos la Integral Definida o Integral de Riemann, un concepto
matem´atico que esencialmente puede describirse como el l´ımite de una suma cuando
el n´
umero de sumandos tiende a infinito y cada uno de ellos tiende a cero. Desde el
punto de vista hist´orico la construcci´on del concepto riguroso de integral est´a asociado
al c´alculode ´areas.

6.2

Definici´
on de Integral Definida

Comenzaremos analizando el problema de calcular el ´area determinada por el eje de
abscisas, las rectas x = a, x = b y la gr´afica de la funci´on f (x), que supondremos en un
primer caso continua y positiva en el intervalo [a, b]:
La idea que utilizaremos es partir el intervalo [a, b] en varios subintervalos: [a, x1 ],
[x1 , x2 ], . . . [xn−1 ,b], de manera que el ´area que buscamos ser´a la suma de las ´areas de
cada una de las figuras planas que resultan de dicha divisi´on. Tomemos ahora en cada
sub-intervalo un valor arbitrario de la abscisa: {ξ1 , . . . , ξn }, y construyamos el rect´angulo
de altura f (ξ) correspondiente a cada uno de los subintervalos (ver Figura 8.1 derecha).
Podemos as´ı aproximar el valor del ´area buscada por lasuma:
A ≈ f (ξ1 ) (x1 − a) + f (ξ2 ) (x2 − x1 ) + . . . + f (ξn ) (b − xn−1 )
Evidentemente esta aproximaci´on ser´a tanto mejor cuanto m´as subintervalos se introduzcan, y en particular si el n´
umero de ellos tiende a infinito (y la anchura de todos
y cada uno de ellos tiende a cero) entonces en dicho l´ımite el resultado ser´a exacto y nos
proporcionar´a el ´area buscada.
Este proceso de pasoal l´ımite es el que define la integral definida o integral de
Riemann, que veremos a continuaci´on con m´as detalle:
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´
CALCULO
/ CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8
y

y

x
a

x

b

a

Ξ1

x1

Ξ2

x2

Ξ3 x3 Ξ4

b

Figura 6.1: Construcci´on de una suma de Riemann.

El concepto de integral definida se construye a partir de la idea de pasar al l´ımite
una suma cuando el n´
umero de sumandos tiende ainfinito y simult´aneamente cada uno
de los sumandos tiende a cero. Para determinar con precisi´on esta idea introduciremos
las siguientes definiciones:
Definici´
on. Dado un intervalo [a, b] llamaremos partici´on de [a, b] a toda colecci´on
de n + 1 puntos P = {x0 , x1 , · · · , xn } tales que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b.
Toda partici´on P del intervalo [a, b] lo divide en n subintervalos[xk−1 , xk ] de anchuras
respectivas ∆xk = xk − xk−1 .
Definici´
on. Dada una funci´on f (x) definida en el intervalo [a, b], una partici´on P =
{x0 , x1 , · · · , xn } de [a, b] y dados n puntos ξ = {ξ1 , ξ2 , · · · , ξn } tales que ξk ∈ [xk−1 , xk ],
se llama suma integral o suma de Riemann de la funci´on f (x) en [a, b] correspondiente
a la partici´on P y a la elecci´on de puntos ξ a la sumasiguiente:
S(f, P, ξ) =

n
∑

f (ξk )∆xk = f (ξ1 )∆x1 + · · · + f (ξn )∆xn

k=1

Si suponemos que la funci´on es continua1 en [a, b] entonces, por el teorema de Weierstrass,
f (x) alcanza su valor m´aximo Mk y su m´ınimo mk en cada subintervalo [xk−1 , xk ],
podemos entonces construir las sumas de Riemann correspondientes a dichos valores,
obteniendo la suma superior de Riemann de f (x) en [a, b] conrespecto a la partici´on P :
U (f, P ) =

n
∑

Mk ∆xk

k=1

y la respectiva suma inferior:
L(f, P ) =

n
∑

mk ∆xk

k=1
1

Realmente ser´ıa suficiente con que f (x) fuera continua en cada subintervalo de la partici´
on P .

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CALCULO
/ CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8

Es evidente entonces que el conjunto de todas las sumas de Riemann de una funci´on dada
en un intervalo, con respecto a unapartici´on concreta P , est´a acotado superiormente
por U (f, P ) e inferiormente por L(f, P ).
Definici´
on. Se dice que una funci´on f (x) definida en [a, b] es integrable (en el sentido de
Riemann, o simplemente integrable) en [a, b] si el supremo de todas sus sumas inferiores
de Riemann coincide con el ´ınfimo de todas sus sumas superiores. A dicho n´
umero se le
denomina integral definida o...