Teorico 3 Complejos 2013

MATEMÁTICA I (Ciencias Biológicas)-Teórico

Números Complejos
Para resolver ecuaciones de la forma: x 2 + 1 = 0 , (que no tienen solución en el conjunto
\ ) hubo que crear un elemento “i”, denominado unidad imaginaria, tal que: i 2 + 1 = 0
o bien i 2 = −1 .

Además, a fin de que las operaciones de suma y multiplicación definidas sobre \ ,
sigan siendo operaciones internas en el nuevo conjunto queresulta de agregar a los
números reales la unidad imaginaria “i”, deben también pertenecer a éste, aquellos
números de la forma: “ bi ” y “ a + bi ”, con a y b ∈ \ .
Se ha obtenido así el conjunto de los números complejos:
^ = { z = a + bi / a, b ∈ \}

La notación z = a + bi constituye la llamada forma algebraica, binomial o cartesiana
de expresar a “z”.
Definiciones

Sea z = a + bi
I.

Partereal de z: ℜe (z) = a Parte imaginaria de z: ℑm (z) = b

II.

Conjugado de z: z = a − bi

III.

Módulo (o Norma) de z: z = z ⋅ z = a 2 + b 2

IV.

Cuadrado de la Norma de z:

z

2

=

z ⋅ z = a 2 + b2

Nota

Es también usual la notación z* para indicar el complejo conjugado de z.
Ejemplos

Sea: z = 3 − 4 i
ℜe ( z) = 3 ; ℑ m ( z) = − 4
z = 3 + 4i
z ⋅ z = z 2 = 32 + (−4) 2 = 9 + 16 = 25
z =

z

2

=25 = 5

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Suma y multiplicación de números complejos

Sean:
z1 = a1 + b1i y z2 = a2 + b2i

Suma
z1 + z2 = ( a1 + b1i ) + ( a2 + b2i ) = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) i

Ejemplo

( 3 + 2 i ) + ( 4 − 5 i ) = ( 3 + 4 ) + ( 2 − 5) i = 7 − 3 i
En particular: z1 + z1 = 2a1
Ejemplo

Si z = 3 + 4 i , entonces: z + z = 2.3 = 6
Multiplicación:
z1. z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i ) = (a1.a2 − b1. b2 ) + (a1. b2 + a2 . b1 ) i

Ejemplo

(3 + 2 i ).(4 − 5 i ) = (12 + 10) + (8 − 15) i = 22 − 7 i
Como caso particular, el producto de un número complejo, z, por su conjugado, z ,
según ya se ha indicado en la definición IV, da como resultado el cuadrado de la norma
2
de ese número complejo: z .
Elementos neutros, opuestos e inversos

suma : 0 = 0 + 0 i
⎧
Elemento neutropara la operación de ⎨
⎩multiplicación : 1 = 1 + 0 i
Sea z = a + b i
Opuesto (o inverso aditivo) de z
− z = − a − bi

Inverso multiplicativo de z ( z ≠ 0 )

z− 1 =

1 1z
z
=
= 2
z zz
z

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Ejemplos
z = (3 − 2 i )

− z = −3 + 2 i
z− 1 =

1 3 + 2i 3 2
=
= + i
z
9 + 4 13 13

Cociente de números complejos

Sean:
z1 = a1 + b1 i y z2 = a2 + b2 i

z1
1
z
1
= z1= z1 2 2 = 2
( z1.z2 )
z2
z2
a2 + b22
z2
Ejemplo

3 + 2i
1
1
2 23
=
( 3 + 2i )( 4 + 5i ) = ⎡⎣(12 − 10 ) + (15 + 8) i ⎤⎦ = + i
4 − 5i 16 + 25
41
41 41
Potencias de la unidad imaginaria

A partir de la definición de la unidad imaginaria i = −1 , se obtiene:
i 0 = 1 ya que la potencia cero de cualquier número es uno.
i1 = i

2

i 2 = − 1 = −1

i 3 = i 2 i = ( −1) i = −i

i 4 = i 3 i = ( −i ) i = − (i 2 ) = − ( −1) = 1
i 5 = i 4 i = 1i = i

Las potencias enteras positivas sucesivas de i se repiten cada cuatro valores a partir de
i 0 , asumiendo los valores: 1; i ; −1; −i.
Así la n-ésima potencia de i es igual a la potencia de i con exponente igual al resto de
la división entera de n sobre 4

i n = i 4 c + r = i 4 c i r = ( i 4 ) i r = 1c i r = i r
c

Pero como los restos posibles al dividirn por 4 son: 0,1,2 y 3,

i 4c + 0 = i 0 = 1

i 4 c +1 = i1 = i

i 4 c + 2 = i 2 = −1

i 4c + 3 = i 3 = − i

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Ejemplos:

i 32 = i 4⋅8+ 0 = i 0 = 1

i 25 = i 4⋅6+1 = i1 = i

i 175 = i 4⋅43+3 = i 3 = −i

Potencias de números complejos

Las potencias enteras de números complejos expresadas en forma binómica se pueden
obtener aplicando el Binomio deNewton y teniendo presente lo dicho respecto a las
potencias de i.
n
⎛n⎞
n
k
+
=
a
b
i
(
) ∑ ⎜ ⎟ a n−k ( bi )
k =0 ⎝ k ⎠

Ejemplo:

(a + bi)

5

5
⎛5⎞
k
= ∑ ⎜ ⎟ a 5 − k ( bi )
k =0 ⎝ k ⎠
⎛5⎞
⎛ 5⎞
⎛ 5⎞
⎛ 5⎞
⎛ 5⎞
⎛ 5⎞
0
1
2
3
4
5
= ⎜ ⎟ a 5 ( bi ) + ⎜ ⎟ a 4 ( bi ) + ⎜ ⎟ a 3 ( bi ) + ⎜ ⎟ a 2 ( bi ) + ⎜ ⎟ a 1 ( bi ) + ⎜ ⎟ a 0 ( bi )
⎝0⎠
⎝1⎠
⎝ 2⎠
⎝ 3⎠
⎝ 4⎠
⎝ 5⎠

= 1⋅ a 5 ⋅1 + 5a 4b i + 10a 3 b 2 ( i 2 ) +...