Teoría De Conjuntos

TEORÍA DE CONJUNTOS


1. Noción de conjunto
Un conjunto es una colección, reunión, agrupación, clase o familia de objetos bien definidos, reales o abstractos, que cumplen una propiedad específica. Cada objeto del conjunto se llama elemento, que pueden ser: números, personas, letras, etc.
Ejemplos:
- Los países de América del sur.
- Las letras del alfabeto.
- Los números naturalesmenores que 12.

2. Notación y representación
Los conjuntos se nombran con letra mayúscula y los elementos con letra minúscula, separados por comas (o punto y coma), encerrados entre llaves. También se pueden representar por medio de diagramas de Venn.

Ejemplos:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...} = {Los números naturales}
B = {Lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}
C = {Lassoluciones de la ecuación x2 – x – 6} 
D= {a, v, e, s}

3. Relación de pertenencia ([pic])
Se dice que un elemento pertenece a un conjunto, si reúne las características que definen al conjunto.
Para representar que un elemento a pertenece al conjunto A se utiliza el símbolo “(”. Si un elemento no pertenece a un conjunto se denota por “(”.

Ejemplo: Sea el conjunto A = {a, e, i, o, u }Entonces: a ( A , pero b ( A

4. Determinación de conjuntos
Los conjuntos se pueden determinar: Por extensión y por comprensión.
A. Por extensión, enumerativa o firma tabular: Cuando se nombran uno a uno todos sus elementos.
Ejemplos:
A = {Verano, primavera, otoño, invierno} B = {1, 3, 5, 7 ,9}
C = {c, o, n, j, u, t, s}

En un conjunto determinado por extensión nose repite un mismo elemento y el orden en que se presenten los elementos no importa.

B. Por comprensión o forma constructiva: Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos sus elementos.

Ejemplos:
A = {x/x es una estación del año}
B = {x/x es un número impar menor que 10}
C = {x/x es una letra de la palabra conjuntos}


|Por extensión|Por comprensión |
|A = {Lima } |A = { x l x es la capital del Perú} |
|B = { 4, -4 } |B = { x I x( Z, x= raíz cuadrada de 16} |
|C = { m, a t, e ,i, c}|C = { x I x es una letra de la palabra matemática} |


5. Relaciones entre conjuntos
Entre dos conjuntos puede establecerse las siguientes relaciones:

A. Relación de inclusión (( ): Un conjunto A está incluido en otro conjunto B si todos los elementos de A son también elementos de B. Se denota A ( B
Se lee “A está incluido en B” “Aes subconjunto de B” “A está contenido en B”

Simbólicamente: [pic]
Si A no está contenido en B se escribe A ( B.












B. Relación de igualdad: Se dice que dos conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos; es decir si y sólo sí todo elemento de A es también elemento de B, y todo elemento de B es también elemento de A.

La igualdad se denota A =B. En símbolos:
[pic]
Se verifica que [pic]
En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa.
Ejemplos:
A = {a, b, c, d}; B = {b, c, d, a, c}; C = {vocal de la palabra mesa}; D = {a, e}
Se verifica: [pic]

Simbólicamente: [pic]
C. Conjunto Potencia P(A).- Es el conjunto formado por todos los subconjuntos que es posible formar con los elementos de un conjunto dado,incluyendo el vacío.
Sea el conjunto A, su notación es[pic]
El número de elementos de P(A) está dado por:
n (A) = número de elementos de A





Ejemplo:
A = {1, 2, 1}; donde [pic] Entonces: [pic]
P(A) ={ {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3},(,}

Subconjunto propio
A es subconjunto propio de B si A es subconjunto de B, pero A no es igual a B.

Observación: El número...