Teoría figuras planas, unidades metricas
Páginas: 16 (3807 palabras)
Publicado: 5 de septiembre de 2012
Figuras planas, propiedades métricas
Antes de empezar
Recuerda una propiedad
importante de los triángulos: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º.
Se traza una paralela a la base por el vértice opuesto. El ángulo a’=a, se dicen alternos internos. El ángulo c’=c por el mismo motivo. a’ + b + c’ =180º por tanto a + b + c = 180º
a + b + c = 180º
a’ + b + c’ =180º a’ = a c’ = c ↓
MATEMÁTICAS 3º ESO
89
Figuras planas, propiedades métricas
1. Ángulos en la circunferencia
Ángulo central y ángulo inscrito
En la circunferencia de la escena de la derecha el ángulo α, que tiene su vértice en el centro de la circunferencia, se llama ángulo central y representa la medida angular del arco PQ. El ángulo β, que tiene el vértice en la mismacircunferencia, se llama ángulo inscrito y se dice que abarca el arco RS. El ángulo inscrito que abarca un arco de circunferencia determinado, es igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco.
El ángulo central abarca una semicircunferencia, mide 180º, el ángulo inscrito es recto.
Aunque se cambie la posición del vértice P el ángulo no varía. Los ángulos inscritos que abarcan el mismo arcode circunferencia son iguales.
EJERCICIOS resueltos
1. Calcula el valor del ángulo o los ángulos marcados en cada caso. a) La circunferencia se a) La circunferencia se a) La circunferencia se ha dividido en 3 partes ha dividido en 6 partes ha dividido en 8 partes iguales iguales iguales
Sol: El ángulo α abarca 120º, su valor es la mitad, 60º.
Sol: El ángulo α abarca 180º, su valor es lamitad, 90º. El ángulo β abarca 240º, cuatro divisiones de la circunferencia, su medida es 120º.
Sol: En el triángulo azul B=90º, C=45º α=180º-90º-45º=45º En el triángulo rosa B=22,5º y D=90º β=90º+22,5º=112,5º
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MATEMÁTICAS 3º ESO
Figuras planas, propiedades métricas
2. Semejanza
Figuras semejantes
Observa a la izquierda la pareja de figuras semejantes, tienen la misma forma peroestán representadas con tamaños diferentes, una puede considerarse una ampliación de la otra.
•
La semejanza está basada en el Teorema de TALES: dos rectas que cortan a varias paralelas determinan en estas segmentos proporcionales.
AB A' B' = BC B' C' = AC A' C'
Dos figuras planas se consideran semejantes si existe la misma proporción, llamada razón de semejanza, entre sus ladoshomólogos y además sus ángulos homólogos son iguales.
Triángulos en posición de Tales: los lados homólogos son proporcionales, los ángulos son iguales. Son semejantes.
Observa en la figura que los dos polígonos, verde y amarillo, tienen los ángulos iguales, y los lados proporcionales, son semejantes
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si se pueden poner en posición de Tales. Comohemos visto en la sección anterior, esto significa que sus lados homólogos guardan la misma proporción y que sus ángulos son iguales. En el caso de los triángulos para que sean semejantes Bastará que se cumpla uno de los siguientes criterios:
MATEMÁTICAS 3º ESO
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Figuras planas, propiedades métricas
Criterios de semejanza de triángulos
1) Si dos triángulos tienen los ángulos iguales,entonces son semejantes; bastará que tengan dos, el tercero es lo que falta hasta 180º. 2) Si dos triángulos tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales, son semejantes. 3) Si dos triángulos tienen sus tres proporcionales, entonces son semejantes. lados
EJERCICIOS resueltos
2. Las rectas de color naranja son paralelas a) Calcula x
5 6
b) Calcula la distancia entre Ay C.
5 5
A
4,8
x
6
B
C
6 x 4,8 ⋅ 6 = ⇒x= = 5,76 5 4,8 5
Puesto que los segmentos homólogos son iguales AB = BC = 6 , luego AC = 12
3.
Calcula x, y, z.
x 2,6 5,7 ⋅ 2,6 = → x= = 2,8 5,7 5,3 5,3 5,7 2 ⋅ 5,7 = → y=10,6 5,3 y Para calcular z hay varias formas, por ejemplo: El segmento s mide 4,2 ya que debe guardar la proporción con los que miden 5,7. t 4,2 Se...
Antes de empezar
Recuerda una propiedad
importante de los triángulos: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º.
Se traza una paralela a la base por el vértice opuesto. El ángulo a’=a, se dicen alternos internos. El ángulo c’=c por el mismo motivo. a’ + b + c’ =180º por tanto a + b + c = 180º
a + b + c = 180º
a’ + b + c’ =180º a’ = a c’ = c ↓
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1. Ángulos en la circunferencia
Ángulo central y ángulo inscrito
En la circunferencia de la escena de la derecha el ángulo α, que tiene su vértice en el centro de la circunferencia, se llama ángulo central y representa la medida angular del arco PQ. El ángulo β, que tiene el vértice en la mismacircunferencia, se llama ángulo inscrito y se dice que abarca el arco RS. El ángulo inscrito que abarca un arco de circunferencia determinado, es igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco.
El ángulo central abarca una semicircunferencia, mide 180º, el ángulo inscrito es recto.
Aunque se cambie la posición del vértice P el ángulo no varía. Los ángulos inscritos que abarcan el mismo arcode circunferencia son iguales.
EJERCICIOS resueltos
1. Calcula el valor del ángulo o los ángulos marcados en cada caso. a) La circunferencia se a) La circunferencia se a) La circunferencia se ha dividido en 3 partes ha dividido en 6 partes ha dividido en 8 partes iguales iguales iguales
Sol: El ángulo α abarca 120º, su valor es la mitad, 60º.
Sol: El ángulo α abarca 180º, su valor es lamitad, 90º. El ángulo β abarca 240º, cuatro divisiones de la circunferencia, su medida es 120º.
Sol: En el triángulo azul B=90º, C=45º α=180º-90º-45º=45º En el triángulo rosa B=22,5º y D=90º β=90º+22,5º=112,5º
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2. Semejanza
Figuras semejantes
Observa a la izquierda la pareja de figuras semejantes, tienen la misma forma peroestán representadas con tamaños diferentes, una puede considerarse una ampliación de la otra.
•
La semejanza está basada en el Teorema de TALES: dos rectas que cortan a varias paralelas determinan en estas segmentos proporcionales.
AB A' B' = BC B' C' = AC A' C'
Dos figuras planas se consideran semejantes si existe la misma proporción, llamada razón de semejanza, entre sus ladoshomólogos y además sus ángulos homólogos son iguales.
Triángulos en posición de Tales: los lados homólogos son proporcionales, los ángulos son iguales. Son semejantes.
Observa en la figura que los dos polígonos, verde y amarillo, tienen los ángulos iguales, y los lados proporcionales, son semejantes
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si se pueden poner en posición de Tales. Comohemos visto en la sección anterior, esto significa que sus lados homólogos guardan la misma proporción y que sus ángulos son iguales. En el caso de los triángulos para que sean semejantes Bastará que se cumpla uno de los siguientes criterios:
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Criterios de semejanza de triángulos
1) Si dos triángulos tienen los ángulos iguales,entonces son semejantes; bastará que tengan dos, el tercero es lo que falta hasta 180º. 2) Si dos triángulos tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales, son semejantes. 3) Si dos triángulos tienen sus tres proporcionales, entonces son semejantes. lados
EJERCICIOS resueltos
2. Las rectas de color naranja son paralelas a) Calcula x
5 6
b) Calcula la distancia entre Ay C.
5 5
A
4,8
x
6
B
C
6 x 4,8 ⋅ 6 = ⇒x= = 5,76 5 4,8 5
Puesto que los segmentos homólogos son iguales AB = BC = 6 , luego AC = 12
3.
Calcula x, y, z.
x 2,6 5,7 ⋅ 2,6 = → x= = 2,8 5,7 5,3 5,3 5,7 2 ⋅ 5,7 = → y=10,6 5,3 y Para calcular z hay varias formas, por ejemplo: El segmento s mide 4,2 ya que debe guardar la proporción con los que miden 5,7. t 4,2 Se...
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