teorías atomicas

INTRO. MATRICES Y DETERMINANTES
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de
las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones en el
campo de la física.
MATRICES
Una matriz es una tabla ordenada de escalares ai j de la forma

La matriz anterior se denota también por (ai j ), i =1, ...,m, j =1, ..., n, o simplemente por (ai j ).
Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y
n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m ð n.
Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por
minúsculas, a, b, ...
Ejemplo:

donde sus filas son (1, −3, 4) y (0, 5, −2) ysus

CLASES DE MATRICES
Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:
Matrices cuadradas
Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz
cuadrada n ð n es de orden n y se denomina matriz n−cuadrada.
Ejemplo: Sean las matrices

1

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.
Matrizidentidad
Sea A = (ai j ) una matriz n−cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11,
a22, ..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.
La matriz n−cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se
conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,
A· I = I ·A = A.Matrices triangulares
Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas
las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices

son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.
Matrices diagonales
Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D= diag
(d11, d22, ..., dnn ). Por ejemplo,

son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por
diag(3,−1,7) diag(4,−3) y diag(2,6,0,−1).
Traspuesta de una matriz
La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.
Así, la traspuesta de

2

En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m ð n, entonces AT =
es lamatriz n ð m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:
1. (A + B)T = AT + BT.
2. (AT)T = A.
3. (kA)T = kAT (si k es un escalar).
4. (AB)T = BTAT.
Matrices simétricas
Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica,
si AT = −A.
Ejemplo:
Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales,o que AT = A. Siendo así, A es simétrica.
Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.
A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.
Matrices ortogonales
Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es
necesariamente cuadrada e invertible, con inversaA−1 = AT.
Consideremos una matriz 3 ð 3 arbitraria:

Si A es ortogonal, entonces:
3

Matrices normales
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica,
antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.
Ejemplo:

Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal.
OPERACIONES CON MATRICES
Suma y resta de matrices
Para poder sumar orestar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una
matriz es de orden 3 ð 2 y otra de 3 ð 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma
como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.
Ejemplo:

4

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para...