Tepria De La Medida

TEORÍA DE LA MEDIDA
Jesús María Ríos Aliaga 17 de abril de 2002

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Índice General
1 INTRODUCCIÓN 5 1.1 ÁLGEBRA GEOMÉTRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 LA CUADRATURA DEL CIRCULO POR ARQUÍMEDES. EL MÉTODO DE EXAHUSCIÓN DE EUDOXO. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA. 2.1 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 3 LA INTEGRAL DE RIEMANN-STIELJES. 3.1 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 EL PROBLEMA DE LA MEDIDA PARA SUBCONJUNTOS DE LA RECTA REAL 4.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 EL AXIOMA DE ELECCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 EL TEOREMA DE VITALI (1905) . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 DEBILITAMIENTO DELPROBLEMA DE LA MEDIDA PARA SUBCONJUNTOS DE LA RECTA REAL . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 LA IDEA DE LEBESGUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 EL PROCESO DE CARATHÉODORY . . . . . . . . . . . . . 5 TEOREMAS DE CONVERGENCIA PARA LA INTEGRAL DE LEBESGUE 5.1 TEOREMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 TEOREMA DE LA CONVERGENCIA MONÓTONA . . . . 5.1.2TEOREMA DE BEPPO-LEVÍ . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 LEMA DE FATOU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 TEOREMA DE LA CONVERGENCIA DOMINADA . . . . . 5.2 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 12 15 16 21 21 23 24 28 29 32 33 33 33 35 35 35 37

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ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1 INTRODUCCIÓN
1.1 ÁLGEBRA GEOMÉTRICA

Tras eldescubrimiento de los incomensurables en la escuela pitagórica del siglo V a.c., y el consiguiente fracaso de la aritmetización de la geometría, se empieza a hacer álgebra geométrica. Dados dos segmentos, pudiera ocurrir que no existiese una unidad de medida común, como por ejemplo ocurre en:

1. El lado del pentágono y su diagonal.

2. El lado del cuadrado y su diagonal.

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INTRODUCCIÓN

Loque pone fin a la Teoría atómica de la extensión geométrica, según la cual, los segmentos de la geometría están compuestos por puntos extensos. Si esta Teoría fuera cierta, sería posible encontrar para dos segmentos cualesquiera, AB y CD, una unidad de medida común u a ambos, de tal forma que AB = nu CD = mu para lo cual bastaría con aplicar el algoritmo de Euclides, es decir, hallar el “m.c.d.”restando geométricamente el segmento pequeño al grande hasta que el resto sea el segmento nulo,es decir, hasta una división geométrica exacta. Proceso que bajo las hipótesis de la Teoría atómica de la extensión geométrica sería finito. Siendo u el último segmento por el que se ha dividido, resultará ser, por la construcción del mismo, la máxima unidad de medida común a ambos. El cual permite asociara cada segmento un número natural, en nuestro caso n y m, que los mide, en el sentido de contener cada segmento esa cantidad de veces, n y m, el segmento u. La existencia del segmento u en las hipotesis de la Teoría atómica de la ¢ exten¡ sión geométrica, permite asociar a cada par ordenado de sementos AB, CD cualesquiera, el par ordenado de números(n, m) que obtenemos por el proceso descritoanteriormente o de resta mutua que los griegos llamarían antiphaieresis. Puesto que tanto n como m son números naturales y (N, ≤) es un orden total, resuta que en las hipotesis de la Teoría atómica de la extensión geométrica todo par de segmentos son comparables, conmensurables, atraves de los números naturales asociados a ellos. Definición 1 Para expresar lo dicho anteriormente, y no otra cosa, losgriegos de

ÁLGEBRA GEOMÉTRICA

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la época escribian: AB n = m CD Observación 2 En la definición no se dice si la unidad de medida común a los segmentos AB y CD tiene que ser la máxima unidad de medida común u, utilizada anteriormente para hallar n y m, o vale cualquier otra. Esto es así, porque, de hecho, no importa cual sea la unidad de medida común, a los segmentos AB y CD, AB que...