termodinamica

Ciencia…Ahora, Nº 20, año 10, septiembre – octubre 2007

MATRICES DE TRANSICIÓN Y CADENAS DE MARKOV
Juan Espinoza B.
Facultad de Agronomía UdeC

Existen muchas situaciones en las cuales es posible aplicar matrices, para esto
consideremos situaciones en la que se separa a la población en dos o más categorías o
estados.
Por ejemplo, podemos separar los ciudadanos de un país de acuerdo a:Sus ingresos, en las categorías: pobre, ingresos medio o rico.
Las migraciones del campo a la ciudad; o del norte al sur.
La movilidad intergeneracional de padres a hijos, en relación al nivel educativo.
La preferencia por una determinada marca de bebidas.
En general al hablar de población nos estaremos refiriendo a gente, pero esto no es
esencial. Podemos clasificar los automóviles deacuerdo a si funcionan o no, el riesgo de
poner o cambiar nuestros ahorros de la AFP en un determinado tipo de fondo A, B, C, D; o
bien, estudiar los patrones de cambio de uso de suelo en una ciudad de rápido crecimiento.
Estamos interesados en cómo la distribución de una población entre estados puede cambiar
durante un período de tiempo. Las matrices y su multiplicación pueden desempeñar un
papelimportante en dichas consideraciones, para esto se utilizan las matrices de
transición.
Matrices de Transición
La tendencia de una población a moverse entre n estados se puede describir a veces
mediante una matriz de n x n.
Consideremos una población distribuida entre n = 3 estados, que llamaremos estado 1,
estado 2 y estado 3. Se supone que conocemos la proporción tij de la población delestado j, que se mueve al estado i en determinado período de tiempo fijo. Obsérvese que
dirección del movimiento del estado j al estado i va en orden de derecha a izquierda de
los subíndices en tij . La matriz T = (tij ) se llama matriz de transición.
Supongamos que la población de un país, está clasificada de acuerdo con los ingresos en
Estado 1: pobre
Estado 2: ingresos medios
Estado 3:rico
Supongamos que en cada período de 20 años tenemos los siguientes datos para la población
y su descendencia:
De la gente pobre, el 19% pasó a ingresos medios, y el 1% a rica;

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de la gente con ingresos medios, el 15% pasó a pobre, y el 10% a rica;
de la gente rica, el 5% paso a pobre, y el 30%, a ingresos medios.
El registrotij de la matriz de transición T, representa la proporción de la población que
pasa del estado j al estado i, no el porcentaje.
Para el estado 1 (esto es la columna 1 de la matriz de transición T). El dato de que el 19%
de los pobres (estado 1) pasará a ingresos medios (estado 2) significa que debemos tomar
t21 = 0,19 . Del mismo modo como, como el 1% de la gente del estado 1 (pobre) pasa alestado 3 (rico), debemos anotar t31 = 0,01 . Ahora t11 representa la proporción de gente
pobre que sigue siendo pobre después de 20 años. Como es el 80%, debemos escribir el
registro t11 = 0,80 . Siguiendo de esta manera y comenzando con el estado 2 (para la
columna 2), se tiene, t12 = 0,15 t 32 = 0,10 con lo cual se obtiene t 22 = 0,75 ; y

finalmente, para el estado3 (columna3) se tienet13 = 0,05
t 33 = 0,65 .
De esta forma la matriz de transición que describe estos datos es

t 23 = 0,30

entonces

pobre medio rico
 0,80 0,15 0,05  pobre

T= 
 0,19 0,75 0,30  medio
 0,01 0,10 0,65  rico


Obsérvese que:
1) las entradas de la diagonal de la matriz representa la proporción de la población
que no cambia de estado en un período de 20 años;
2) un registrode la matriz da la proporción de la población del estado superior del
registro que pasa al estado de la derecha del registro en un período de 20 años.
3) la suma de los registros de cada columna de la matriz T es 1, pues la suma refleja
el movimiento de toda la población para el estado relacionado en la parte superior
de la columna.
Supongamos ahora que las proporciones de toda la población...