ternas pitagoricas









ANDRES FELIPE RENDON FORERO
10A









A la hora de explicar el Teorema de Pitágoras, todos conocemos muy bien el triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 o cualquier triángulo cuyos lados sen múltiplos del anterior. Posiblemente también conozcamos el que tiene por lados 5, 12 y 13. Pero, ¿existen más triángulos rectángulos cuyos lados sean números naturales?¿Cuántos hay? ¿Existe algún procedimiento para construirlos?

CONSTRUCCIÓN DE TERNAS PITAGÓRICAS

Se trata de buscar soluciones de la ecuación a2=b2+c2 de forma que a, b y c sean números positivos. También podemos imponer la condición m.c.d.(a,b,c)=1, pues cualquier múltiplo de una terna pitagórica, será también una terna pitagórica.
Las soluciones de esta ecuación son de laforma  a=x2+y2, b=x2-y2, c=2xy, pues e fácil comprobar que:
a2 = b2 + c2
(x2+y2)2 =  (x2-y2)2 + (2xy)2
x4+2x2y2 +y4= x4-2x2y2+y4 + 4x2y2
Para conseguir que m.c.d.(a,b,c)=1, x e y serán números positivos, de distinta paridad y además primos entre sí. Para que b sea positivo, x debe ser mayor que y, y para que formen un triángulo x e y no podrán ser iguales.
 

La siguiente escena permite calcular cualquier terna pitagórica.Si se introducen x e y con las condiciones indicadas, aparecerá una terna verificando la condición m.c.d.(a,b,c)=1. Si x e y no verifican algunas de esas condiciones, aparecerá una terna cuyos números no verifican m.c.d.(a,b,c)=1. En este caso la escena indica la terna original.
El teorema de Pitágoras dice que la suma de las áreas de los cuadrados sobre los lados pequeños de untriángulorectángulo es igual al área del triángulo sobre el lado largo.

Llamemos a, b, y c a los lados de un triángulo rectángulo. (Un triángulo rectángulo es uno que tiene un ángulo de 90 grados.) El lado más largo se llama 'hipotenusa' y los otros se llaman 'catetos'.
El teorema de Pitágoras se escribe en forma de ecuación:
a2 + b2 = c2
donde c es la hipotenusa y a, b son los catetos.
Si a, b y cson enteros positivos, juntos se les llama una terna pitagórica.
La terna pitagórica más pequeña es 3, 4 y 5. Es fácil ver que 32 + 42 = 52 (9+16=25).
Aquí tienes más ejemplos:



Triángulo 3,4,5
Triángulo 5,12,13
Triángulo 9,40,41
32 + 42 = 52
52 + 122 = 132
92 + 402 = 412
 
Sin fin
El conjunto de ternas pitagóricas no tiene fin.
Es fácil demostrarlo usando la primera terna pitagórica (3, 4 y 5):
Sea nun entero mayor que 1: 3n, 4n y 5n también son una terna pitagórica. Esto es verdad porque:
(3n)2 + (4n)2 = (5n)2
n
(3n, 4n, 5n)
2
(6,8,10)
3
(9,12,15)
...
... etc ...
Así que puedes crear infinitas ternas pitagóricas a partir de la terna (3,4,5).
Demostración de Euclides de que hay infinitas ternas pitagóricas
De todas maneras, Euclides usó un razonamiento diferente para demostrar que el conjunto de ternaspitagóricas no tiene fin.
La prueba se basa en que la diferencia de dos cuadrados de números consecutivos es siempre un número impar.
Por ejemplo, 22 - 12 = 4-1 = 3, 152 - 142 = 225-196 = 29.
Y además todos los números impares se pueden escribir como una diferencia de dos cuadrados de números consecutivos. En esta tabla se ve:
n
n2
Diferencia
1
1
 
2
4
4-1 = 3
3
9
9-4 = 5
4
16
16-9 = 7
5
25
25-16= 9
...
...
...
Y hay infinitos números impares.
Como hay infinitos números impares, y algunos de ellos son cuadrados perfectos, hay un número infinito de cuadrados impares. Por tanto, hay infinitas ternas pitagóricas.
Propiedades
Se puede ver que una terna pitagórica tiene:
tres números pares, o
dos impares y uno par.
Una terna pitagórica no puede tener todo números impares ni dos pares y unoimpar. Esto es porque:
(i) El cuadrado de un impar es impar y el cuadrado de un par es par.
(ii) La suma de dos pares es par y la suma de impar y par es impar.
Por tanto, si uno de entre a y b es impar y el otro par, c tiene que ser impar. Y si a, b son impares, ¡c es par!
Construir ternas pitagóricas
Es fácil construir ternas pitagóricas. Si m y n son números naturales, 
Sean a = n2 - m2,...