Texto de logica matematica

Introducción a la Lógica y Métodos de Demostración

1. CÁLCULO PROPOSICIONAL

Hay tres clases de lenguaje mediante los cuales nos podemos comunicar: el lenguaje oral que se manifiesta verbalmente; el lenguaje escrito que es una traducción del lenguaje oral mediante frases impresas; y el lenguaje simbólico que es una traducción de los dos anteriores, mediante símbolos apropiados que siguenreglas bien definidas. Tanto el lenguaje oral como el escrito sufren el defecto de que, muchas veces, las ideas no se expresan en forma precisa, dando lugar a ambigüedades. El lenguaje simbólico, que es utilizado en matemáticas y en otras disciplinas, es, por el contrario preciso y no da lugar a falsas interpretaciones. En este primer capítulo se presenta los conceptos y leyes del cálculoproposicional. Las reglas de la lógica le dan un significado preciso a los enunciados matemáticos y no matemáticos y se usan para distinguir entre argumentos válidos y no válidos. Un concepto básico y esencial de la lógica es el de proposición, que definimos a continuación.

1.1. Proposiciones Definición 1.1 Una proposición es una expresión con sentido completo mediante la cual se afirma o se niega algoque puede ser verdadero o falso (pero no las dos cosas a la vez). Ejemplo 1. Son proposiciones: a) “2 es un número primo” b) “15 no es múltiplo 5” c) “Bogotá es la capital de Colombia” Ejemplo 2. No son proposiciones: a) “¡Hace frío!” b) “¿Qué hora es?” Dada una proposición, su negación se considera también una proposición.

1.2. Proposiciones simples (o atómicas) Definición 1.2 Si una proposicióncontiene uno o varios sujetos y un predicado que afirma algo sobre dichos sujetos de llama proposición simple. Ejemplo 3. Son proposiciones simples: a) “3 es un número impar” b) “7+4=20” 1

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Ejemplo 4. No son proposiciones simples: a) “5 no es divisor de 12” b) “7 es un número impar y primo” Las proposiciones simples se denotan con lasletras minúsculas p , q , r , s ,… Si una proposición simple es verdadera, se dice que su valor de verdad es V y si es falsa se dice que su valor de verdad es F . Si p es una proposición simple, la negación de p se denota por ¬p y se lee “no p ”. Ejemplo 5. La negación de la proposición simple p : “2 es un número primo”, es ¬p : “2 no es un número primo” La parte de la lógica que trata de proposicionesse llama cálculo proposicional o lógica proposicional. Fue desarrollada sistemáticamente por primera vez por el filósofo griego Aristóteles hace más de dos mil trescientos años. Podemos generar nuevas proposiciones a partir de las proposiciones simples ya existentes. Los métodos para generar estas nuevas proposiciones fueron estudiados por el matemático inglés George Boole en 1854 en su libro Lasleyes del pensamiento. Muchos enunciados matemáticos se construyen combinando una o más proposiciones. Las nuevas proposiciones, llamadas proposiciones compuestas, se forman a partir de las proposiciones simples utilizando conectivos lógicos. 1.3. Proposiciones compuestas (o moleculares) Definición 1.3 Una proposición se llama compuesta si es la combinación de dos o más proposiciones simplesligadas mediante alguna de las expresiones “y”, “o”, “si…entonces…” o “…si y sólo si…”. A estas expresiones se les llama conectivos (o conectores) lógicos. Ejemplo 6. Son proposiciones compuestas: a) “5 es un número par y primo” b) “la tierra es un planeta o el sol no es el centro del universo” c) “si 14 es par, entonces es divisible entre 2” d) “Un triángulo es equilátero si, y sólo si sus tres ladosson iguales” Una tabla de verdad muestra las relaciones entre los valores de verdad de las proposiciones simples. Las tablas de verdad son especialmente valiosas a la hora de determinar los valores de verdad de proposiciones compuestas complejas. Ejemplo 7. La negación de una proposición p , que se denota por ¬p , es verdadera si p es falsa y falsa si p es verdadera; esto se ilustra en la...