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MATEMATICA 1
Iv´n Correa
a
Marcela Pinochet
Departamento de Matem´tica
a
UMCE

1

PARTE 1
L´gica Proposicional
o

1.1 Proposiciones
Asumiremos que el lector sabe lo que es una palabra, y que una
frase es cualquier agrupaci´n de palabras (tenga o no sentido).
o
Definicion 1.1.1
Una proposici´n es una frase sujeta a la asignaci´n de un valor
o
o
de verdad, es decir, una fraseen la cual se expresa una sentencia
sujeta a ser verdadera o falsa.
Observamos que para decidir si una determinada frase es o no
una proposici´n, es irrelevante conocer cual es su valor de verdad.
o
Ejemplo 1.1.
a) La frase ”Existe vida en otros planetas” es una proposici´n, a
o
pesar de que a´n no conocemos su valor de verdad.
u
b) La frase ”Todos los hombres del curso de Matem´ticahablan
a
ingles” es una proposici´n. No sabemos si es verdadera o falsa, pero
o
claramente es una proposici´n.
o
c) La frase ”Todos los alumnos de la UMCE practican alg´n deu
porte” es una proposici´n. Observemos que ser´ suficiente que al
o
a

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menos un estudiante de la UMCE no practique deporte para que el
valor de esta proposici´n sea falsa.
o
d) La frase ”El tren expreso delnorte” no es una proposici´n pues
o
no es posible asignarle un valor de verdad.
e) La frase ”Auto az´l” no es una proposici´n, pues no es verdadera
u
o
ni falsa.
f) La frase ”Esta lloviendo” es una proposici´n, cuyo valor de verdad
o
variar´ segun el momento y lugar en que se diga.
a
g) Consideremos la frase ”Existe un unico estudiante de la UMCE
´
cuyo primer nombre es Octavio”. En estafrase se hacen dos afirmaciones: que existe un estudiante de la UMCE cuyo primer nombre es
Octavio y que adem´s de ´l, no existe otro estudiante de la UMCE
a
e
con ese nombre. Luego, esta frase es falsa en dos posibles casos: si
no existen estudiantes de la UMCE con ese nombre o existen dos o
m´s estudiantes de la UMCE cuyo primer nombre es Octavio. En
a
cualquier otro caso, la frase esverdadera. De esta forma la frase es
una proposici´n.
o
Denotaremos a las proposiciones con letras min´sculas p, q, r etc.
u
escribiendo por ejemplo:
p: ”La suma de 2 y 5 es igual a 16.”
q: ”En Argentina todos los perros son de color caf´”.
e
Definicion 1.1.2
Dada una proposici´n p, llamamos tabla de verdad de p a la preo
3

sentaci´n de todos los posibles valores de verdad de pmediante un
o
arreglo como sigue:
p
V
F
Definicion 1.1.3
Dada una proposici´n p, la negaci´n de p es la frase que se obtiene
o
o
al negar lo que afirma p. Luego, si p es verdadera su negaci´n es
o
falsa y vice-versa. Se sigue que la negaci´n de p es tambien una
o
proposici´n, que denotaremos por ∼ p y se lee ”no p”, y cuya tabla
o
de verdad es la siguiente:
Tabla de verdad de ∼ p
p ∼p
VF
F V
1.2 Conectivos L´gicos
o
Dos o mas proposiciones se pueden ”conectar” mediante palabras
o frases que llamaremos conectivos. Estas conexiones dan origen
a nuevas proposiciones. Como ejemplo, consideremos las proposiciones: p: ”El d´ est´ nublado”, q: ”Hoy es lunes ” y r: ”Estoy en
ıa
a
la Universidad”, y las siguientes frases:
a) ”p y q”, es decir: ”Esta nublado y hoy es lunes”.4

b) ”q o r”, es decir: ”Hoy es lunes o estoy en la Universidad”.
c) ” Si q entonces r”, es decir ”Si hoy es lunes, entonces estoy en la
Universidad.”
Cada una de estas frases es una proposici´n. En efecto:
o
La frase a) es una frase que es verdadera si p y q son ambas
verdaderas, y bastara que al menos una de las proposiciones p o q
sea falsa para que toda la frase sea falsa.
La fraseb) es verdadera si al menos una de las proposiciones es
verdadera, y falsa en el caso de que ambas sean falsas.
La frase c) es una proposici´n falsa solamente en el caso en que
o
q sea verdadera y r falsa. En general, nunca se podr´ deducir algo
a
falso a partir de un hecho verdadero.
A continuaci´n definimos formalmente cuatro conectivos.
o
Definici´n 1.2.1 Definimos la conjunci´n de las...