Tipos De Respuesta En Un Sistema De Control De Segundo Orden

ESCUELA POLITECNICA DEL EJÉRCITO
Tipos de respuesta en un Sistema de control de Segundo Orden
Nombre: Cristian Ortiz
Nivel: Sexto Mecatrónica “B”
Fecha: Viernes 14 de Septiembre del 2012
Abstract:
This document is about with the second-order systems and their different responses to different types of entries, can be considered a servomotor as a clear example of a second-order system thatexist in manufacturers and industries; it requires a solid design, versatile and efficient system.
Product of various types of entries, there are three cases of response in such systems, if underdamped case, critically damped case and overdamped case, which will be clearly explained and analyzed mathematically by functions and Laplace Transform.
The objective is to understand and apply thisknowledge to the various control systems that are presented in theory and practice in the workplace, learning is essential that knowledge, because control systems are of great importance in engineering, most of manufacturing processes requires the application of this fundamental knowledge.

Desarrollo:

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

Se obtendrá la respuesta de un sistema de control típico desegundo orden para una entrada escalón, rampa e impulso.
1 ) Caso subamortiguado (0 < £ < 1): en este caso, C(s)/R(s) se escribe como:
(C(s))/(R(s))=(w_n^2)/((s+ζw_n+jw_d)(s+ζw_n-jw_d))
donde w_d=w_n √(1-ζ^2 ) La frecuencia w_d se denomina frecuencia natural amortiguada. Para
una entrada escalón unitario, C(s) se escribe como:
C(s)=(w_n^2)/((s^2+2ζw_n s+w_n^2)s)
La transformada inversa deLaplace de la Ecuación se obtiene con facilidad si C(s) se escribe de la forma siguiente:
C(s)=1/s-(s+2ζw_n)/((s^2+2ζw_n s+w_n^2))
=1/s-(s+ζw_n)/(〖(s^2+ζw_n)〗^2+w_d^2 )-(ζw_n)/(〖(s+ζw_n)〗^2+w_d^2 )
Por tanto, la transformada inversa de Laplace de la Ecuación se obtiene como:

Este resultado se obtiene directamente usando una tabla de transformadas de Laplace. A partir de la Ecuación seobserva que la frecuencia de oscilación transitoria es la frecuencia natural amortiguada, y que, por tanto, varía con el factor de amortiguamiento relativo £. La señal de error para este sistema es la diferencia entre la entrada y la salida, y es:

Esta señal de error presenta una oscilación sinusoidal amortiguada. En estado estacionario, o en t = oo, no existe un error entre la entrada y la salida.Si el factor de amortiguamiento relativo £ es igual a cero, la respuesta se vuelve no amortiguada y las oscilaciones continúan indefinidamente.
Por tanto, se establece que con representa la frecuencia natural no amortiguada del sistema. Es decir, es la frecuencia a la cual el sistema oscilará si el amortiguamiento disminuyera a cero. Si el sistema lineal tiene cualquier cantidad deamortiguamiento,
No se puede observar experimentalmente la frecuencia natural no amortiguada. Esta frecuencia siempre es menor que la frecuencia natural no amortiguada. Un aumento en £ reduciría la frecuencia natural amortiguada. Si £ aumenta más de la unidad, la respuesta se vuelve sobreamortiguada y no oscilará.

2 ) Caso críticamente amortiguado (= 1): si los dos polos de C(s)/R(s) son casi iguales, elsistema se aproxima mediante uno críticamente amortiguado.
Para una entrada escalón unitario, R(s) = 1/s y C(s) se escribe como:

La transformada inversa de Laplace de la se encuentra como:

Este resultado se obtiene suponiendo que £ se aproxima a la unidad en la Ecuación y utilizando el límite siguiente:


3 ) Caso sobreamortiguado (£ > 1): en este caso, los dos polos de C(s)/R(s) sonreales negativos y diferentes. Para una entrada escalón unitario, R(s) = 1/s y C(s) se escriben como:

La transformada inversa de Laplace de la Ecuación es:

donde y
Por tanto, la respuesta c(t) incluye dos términos exponenciales que decaen.
Cuando £ es apreciablemente mayor que la unidad, uno de los dos exponenciales que decaen disminuye mucho más rápido que el otro, por lo que el...