Tony

Universidad Nacional Tecnol´gica del Cono Sur de Lima o
Carrera Profesional de IME, IET - V Ciclo: 2012-II EJERCICIOS No 02 - VARIABLE COMPLEJA 1. Halle los valores de f (z) en los puntos: a) z = 1+ i siguientes funciones: 1+z . i) f (z) = z(2 − z) ii) f (z) = 1−z 2. Si f (z) = 2z + 1 1 3 , z = 2 , hallar f ( y f (f (z)). 3z − 2 z b) z = 2 − 2i para las Turno: Ma˜ ana n

3. Separar cada unade las funciones en sus partes real u(x, y) e imaginaria v(x, y): 1 a) f (z) = 2z 2 − 3iz b) f (z) = z + c) f (z) = z 1−z d) f (z) = z 2 e) f (z) = 1+z
1 z

4. Un cuadrado S en el plano z tienev´rtices (−1,0), (−1, 2), (1, 2) y (1, 0). Determinar e la regi´n en el plano w en la cual se aplica bajo las transformaciones w = z 2 y o 1 w = 1+z . 5. Demostrar los siguientes l´ ımites mediante sudefinici´n: o a) l´ (z 2 + 2z) = 2i − 1 ım
z→i

b) l´ [ ım
z→−i

z3 − i ] = −3 z+i d)

c)

z→1−i

l´ [x + i(2x + y)] = 1 + i ım

3 z 3 + 8i ]= l´ [ ım z→2i z 3 + 2iz 2 + 4z + 8i 4

6.Calcular los siguientes l´ ımites: a) z2 (2z − 3)(4z + i) ] b) l´ [ ım ] 4+z +1 z→−i/2 (iz − 1)2 z→e 4 z z2 + 1 ] d) c) l´ [ 6 ım z→i z + 1 l´ πi [ ım 2z − 1 , pruebe que 3z + 2 f (z0 + h) − f (z0 ) 7 2 siz0 = − = 2 h→0 h (3z0 + 2) 3 l´ ım 8. Sea f (z) = z2 + 4 . Analice la continuidad de la funci´n f (z). Utilizando f (z) conso z − 2i truya una funci´n continua en el punto z = 2i. o z4

z→e

l´ πi[ ım
3

z ] z3 + 1

7. Si f (z) =

9. Pruebe que la funci´n f (z) = o

z es continua en todos los puntos dentro y sobre +1 el c´ ırculo unidad |z| = 1 excepto en cuatro puntos y determineesos puntos.

10. Hallar todos los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: a) f (z) = 2z − 3 3z 2 + 4 b) f (z) = 4 c) f (z) = tan z z 2 + 2z + 2 z + 16 tanh z d) f (z) = 2 e) f (z) = z 2(1 + z −2 )4 z +1

11. Halle la derivada de cada una de las siguientes funciones en los puntos indicados, mediante la definici´n: o a) f (z) = z 3 − 1 ; z0 = −i b) f (z) = 3z 2 + 4iz − 5 + i ;...