Tp Final

Objetivos
En muchos problemas, hay dos o más variables inherentes relacionadas y es necesario explorar la naturaleza de esta relación. El análisis de regresión es una técnica estadística para modular e investigar la relación de dos o más variables. En este caso analizaremos la relación que existe entre la deformación de una barra y la fuerza ejercida sobre ella.
El análisis que se desarrollará acontinuación será una regresión lineal simple, lineal porque los datos observados estarán dispersos alrededor de una línea recta, y simple ya que solo tiene una variable independiente o regresor y una variable dependiente o respuesta.
Una vez obtenido el modelo de regresión hallaremos intervalos de confianza para los parámetros estimados, que serán una medida de la calidad del modelo, y luegose utilizará este para realizar predicciones.

Problema de regresión lineal
La deformación de una barra de acero sometida a un esfuerzo axial, aumenta al aumentar el esfuerzo axial hasta llegar a un valor en el cual se produce la rotura.
La siguiente tabla muestra los datos obtenidos en un ensayo de tracción de una barra de acero sometida a 13 valores de carga diferentes.
Para cada valor de lacarga se registró la deformación correspondiente.




Ajuste a través de un modelo de regresión
El análisis de este diagrama de dispersión indica que, si bien una curva no pasa exactamente por todos los puntos, existe una evidencia fuerte de que los puntos están dispersos de manera aleatoria alrededor de una línea recta. Por consiguiente, es razonable suponer que la media de la variable aleatoria Yesta relacionada con x por la siguiente relación lineal:
E (Y|x)= β0 + β1 x

Si bien la media Y es una función lineal de x, el valor real observado de y no cae de manera exacta sobre la recta. Para generalizar, suponemos que el valor esperado de Y es una función lineal de x, pero que para un valor fijo de x el valor real de Y está determinado por el valor medio de la función más un término querepresenta un error aleatorio:
Y = β0+ β1x + ɛ
Donde ɛ tiene una distribución normal con media 0 y varianza σ2

Los valores de β0, β1 y σ2 no se conocen por lo que deberán ser estimados a
partir de los datos de la muestra. El método a utilizar para estimar los coeficientes de regresión será el método de los mínimos cuadrados de donde se obtiene que:

= –
= Sxy / Sxx ,

Dónde: Sxx= Σxi2 -((Σxi)2)/n
Sxy= Σxi yi – (Σxi Σyi) /n

Calculo de los valores con la muestra que estamos trabajando:
N = 15
Σxi = 20101 Σyi = 0,6086
= 1546.23 = 0.0468
Σxi2 = 33012157 Σxi yi = 1047,56
Sxx= 33012157– ((20101)2)/13 = 1931372.3
Sxy= 1047,56– (20101* 0,6086)/13 = 106.52
= 106.52/ 1931372.3= 0.00005
= 0.0468 – 0.00005* 1546.23 = -0.03
r=0.99
r2=0.9846
Por lo que el modelo deregresión lineal simple ajustado es:
= -0.03 + 0.00049 x




Se puede demostrar que y son estimadores puntuales ya que:
E() = β0 V() = σ2(1/n+ 2/Sxx)
E( ) = β1 V( )= σ2/Sxx

σ2 estimado y error de estimación
Para obtener inferencias con respecto a los coeficientes de regresión β0 y β1, es necesario estimar σ2 (varianza del término de error ɛ en el modelo de regresión) que aparece en lasexpresiones para V () y V ( ). El parámetro σ2 refleja la variación aleatoria alrededor de la verdadera recta de regresión.
Entonces la suma de los cuadrados de los errores (SSE es:)
SSE = Σ ei2 = Σ(yi - i)2
Se demuestra que:
E (SSE) = (n-2) σ2
Entonces,
= SSE/(n-2)
SSE puede escribirse como:
SSE = Syy - * Sxy, donde Syy = Σ(yi -)2

Calculo de Syy, SSE y σ2 en la muestra:

Syy = 0.0344-((0.6086)2 /13) = 0.006
Sxy= 1047,56– (20101* 0,6086)/13 = 106.52
SSE = 0.006 - 0.00005 * 106.52= 0.00067

= = SSE/n-2= 0.00067/11 = 6.1 x10-5

Intervalos de confianza.
Además de realizar estimaciones puntuales de los coeficientes de regresión, se pueden obtener intervalos de confianza para estos parámetros. El ancho de estos intervalos de confianza es una medida de la calidad total de la...