TRABAJO 1 ECUACIONES DIFERENCIALES


INTRODUCCIÓN
Este trabajo no introducirá en el mundo de las ecuacionesdiferenciales, su relación con el calculo diferencial e integral, y sus multiples aplicaciones en problemas avanzados deingenieria aplicados a situaciones cotidianas.

ANALISIS Y SOLUCION
Tema 1. Introducción a las ecuaciones diferenciales
f. Muestre que y = 1/x es una solución a la ecuación diferencial:
(dy/dx)+ y^2 + y/x – 1/(x^2) = 0
Para demostrar que la función es una solución debemos reemplazar la derivada y las y en terminos de x.
* (dy/dx) = -1 / (x^2)
* y^2 = (1/x)^2 = (1^2)/(x^2) = 1/(x^2)* y/x = (1/x) / (x/1) = 1 / (x^2)
Reemplazamos en la ecuación diferencial:
-1/(x^2) + 1/(x^2) + 1/(x^2) – 1/(x^2) = 0
- 2/(x^2) + 2/(x^2) = 0
0 = 0

Tema 2. Ecuaciones dierenciales de primerorden
a. Resolver la siguiente eecuación diferencial por el metodo de variables separables:
(dy/dx) = (-2x / y)
Separamos cada variable con su respectivo diferencial para luego integrar a cada lado.
y dy=-2x dx
Integral (y dy) = Integral (-2x dx)
(y^2)/2 = (-x^2) + C
y = RAIZ (-2x^2 + 2C)
2C = K
y = RAIZ (-2x^2 + K)

Problema de aplicación
Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constantede 10000m3/s que vierte sus aguas por la única entrada de un lago con volumen de 6000 millones de m3. Suponga que la fábrica empezó a funcionar el 1 de enero de 1999, y que desde entonces, dos vecespor día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes al río a razón de 2 m3/s. Suponga que el lago tiene una salida de 8000m3/s de agua bien mezclada. Esboce la gráfica de lasolución y determine la concentración de contaminantes en el lago después de un día, un mes (30 días), un año (365 días).
Tenemos los siguientes datos:
Caudal de entrada = 1000 (m^3)/s
Caudal de salida= 8000 (m^3)/s
[ ] contaminante = [2(m^3)/s] / 8000(m^3)/s
[ ] contaminante = 0.00025 = 0.025 %
Volumen lago = 6000 * 10^6 (m^3)/s

Durante el día solo ingresan contaminantes durante 4 horas, por...