Trabajo colaborativo ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES

TRABAJO COLABORATIVO No. 1

ESTUDIANTES
JUAN CARLOS RUIZ ROJAS
HERNANDO ORTIZ SANABRIA
HERMES LEONARDO ARCINIEGAS
MARCO AURELIO DUARTE

TUTOR
PINTO AVELLANEDA PABLO

Grupo 92

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “ UNAD”
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS
PROGRAMA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS
MARZO DE 2011
INTRODUCCIONLas Ecuaciones Diferenciales constituyen uno de los más poderosos instrumentos teóricos para la interpretación y modelación de fenómenos científicos y técnicos de la mayor variedad, a saber, aquellos que contienen dinámicas, que expresan evolución, transformación o cambio en términos de algún conjunto de parámetros. Son, por eso, de especial importancia práctica y teórica para los Ingenieros decualquier rama.
Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar según tres características: tipo, orden y linealidad. Según el tipo una ED puede ser ordinaria (EDO) o parcial (EDP). Una EDO es aquella que sólo contiene derivadas ordinarias (derivadas de una o varias funciones de una sola variable independiente). Una EDP, en cambio, contiene derivadas parciales (derivadas de una o varias funcionesde dos o más variables independientes). El orden de una ecuación diferencial lo determina el orden de la más alta derivada presente en ella.

OBJETIVOS
* Fomentar en nosotros los estudiantes la capacidad para analizar y comprender modelos matemáticos que ayuden a resolver problemas de la ciencia y la tecnología.
* Reconocer y aplicar las técnicas fundamentales para la solución deecuaciones diferenciales.
* aplicar efectivamente los conceptos proporcionados por la unidad i del módulo de ecuaciones diferenciales.
* Aplicar las ecuaciones diferenciales en problemas reales.
* Resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias, por métodos analíticos que se aplican en forma general.
* Usar el lenguaje matemático de la asignatura en la descripción de problemas y en lacomunicación de resultados.
* Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias sus aplicaciones en matemáticas, en física y en ingeniería. Así como hacer énfasis en el planteamiento de las ecuaciones e interpretación de sus soluciones.

DESARROLLO DEL TALLER
PUNTO 1
En cada uno de los problemas 1 a 4, determine el orden de la ecuación diferencial dada; diga también si la ecuación es lineal o nolineal

SEGUNDO ORDEN NO LINEAL

SEGUNDO ORDEN NO LINEAL

CUARTO ORDEN LINEAL

PRIMER ORDEN NO LINEAL

PUNTO 2
En cada uno de los problemas 7 a 9, verifique que la función o funciones que se dan son una solución de la ecuación diferencial:

7)
y’’ – y =0
y1(x) = ex
y1 ‘ = ex
y1’’ = ex

ENTONCES
y1’’ – y =0
Remplazando
ex - ex = 0

y2 (x) = coshx
y2 ‘(x) = senhx
y2‘’ (x) = coshx

entonces

y2 ‘’ - y2 =0
Remplazando
Coshx – coshx =0

8)
y” + 2y’ – 3y = 0
y1(x) = e -3x
y1’(x) = -3e -3x
y1’’ (x) =9 e -3x
ENTONCES
y1” + 2y’ – 3y = 0
9 e -3x - 2(e -3x)-3(e -3x)=0
9 e -3x - 6e -3x-3e -3x=0

9)
xy' - y =x² ; y=3x+x²

xy' - y =x²
y=3x+x²
y'=3+2x
y''=2

ENTONCES
x(3+2x) - 3x - x²= 2x²-x²=x²
PUNTO 3
Hallar la solución de las ecuaciones
1)dydx=x+1y

Solución por separación de variables

ydy= x+1 dx

y22= x22+ x+c

y2=x2+ 2x+c
2)
xdydx=2y

dy2y=dxx

121ydy=1x dx
12lny=lnx
lny12=lnx
elny1/2= elnx
Se elimina eln
y12=x

y= x2

PUNTO 4
Solucionar la siguiente ecuación con valor inicial

dy= -4x dx
dx= -4xdx

y=-4x22+ c

y= -2x2+ c
Cuando x =0 y = 1

1= -202+ c
c=1
Entonces la solución es:
y= -2x2+1PUNTO 5
d2ydx2=x+cosx
dy=(x+cosx) dx2
dy=x22+sen xdx
y=x36-cosx+c

PUNTO 6

Hallar la solución general de la ecuación

xy'+ 2y=sen x para x>0
Ecuación lineal no homogénea
Se escribe la ecuación de su forma estándar
y'+2yx=sen xx
Se remplaza p=2x q=sen xx

Entonces
p=e2xdx= e2lnx = elnx2 = x2

Con esto se tiene
x2 y=x2 sen xx dx+c
Se elimina x en la...