Trabajo Ecuaciones Diferenciales

Introducción

Este trabajo ha sido concebido con el principal propósito de ayudar mediante ejemplos a la resolución de problemas sobre la aplicación de EDO’s (ecuaciones diferenciales) a lasmezclas y fluidos; para lo cual nos ayudaremos de las ecuaciones diferenciales de 1er grado.

Principios Teóricos Mezclas

Definamos la concentración de una sustancia como:

Concentración =Cantidad de sustancia/Volumen total

Cuando tenemos un recipiente conteniendo una mezcla homogénea; el cual tiene una entrada y una salida; entonces: En un instante cualquiera una sustancia presente en lamezcla se definirá como:

dQ(t)dt=Qe-Qs

Donde: Q(t) = cantidad de sustancia.
Qe = cantidad de sustancia de entrada.
Qs = cantidad de sustancia de salida.
Además sabemos que:Qe=Ve*Ce Qs= Vs* Cs

Donde: Ve = Volumen entrante.
Vs = Volumen de salida.
Ce = Concentración de entrada.
Cs = Concentración de salida.

El volumen en un tiempo cualquiera será:

Vt= V0+ Ve-Vs*t

Donde: V(t) = cantidad de sustancia.
Ve = cantidad de sustancia de entrada.
Vs = cantidad de sustancia de salida.

Entonces la concentración de la sustancia en el recipiente será:Ct= Q(t)V(t)

Aplicación

Considere un tanque que contiene 1000lt de agua, dentro del cual una solución salada de salmuera empieza a fluir a una velocidad constante de 6lt/min. La concentraciónde sal en la salmuera que entra es de 1kg/lt. La solución dentro del tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior del tanque a una velocidad de 5lt/min.

Determine en qué tiempo laconcentración de sal en el tanque será de 63/64kg/lt.

Solución:

Sea Q(t) la cantidad de sal que hay en el tanque en el instante t.

El problema nos dice que:

V0 = 1000lt
Ve = 6lt/min
Ce =1Kg/lt
Vs = 5lt/min

La velocidad de entrada de sal al tanque en el instante t es:

Qe=Ve*Ce=6ltmin*1Kglt=6 Kgmin

También en el instante t, la cantidad de líquido en el tanque es de:

Vt=...