Trabajo 1
Páginas: 5 (1141 palabras)
Publicado: 12 de julio de 2010
Gradiente[pic][pic][pic][pic][pic]
dirección:
[pic]
Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por cualquier desplazamiento infinitesimal, da el diferencial del campo escalar:
[pic]
Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:
[pic]máximo local (máximo relativo)
Valor de una función que es mayor que los valores de la función en puntos cercanos, pero que no es el mayor de todos los valores.
[pic]
[pic]
MAXIMO GLOBAL sea f:A-->B, A y B conjuntos, A no es vacío. P € A se dice máximo local de f si:
f(P)>= f(x) para todo x en un entorno de P, o en una bola de radio r>0 centrada en P Q € A se dice máximo global de fsi:f(Q)>= f(x) para todo x € A
Notar que los máximos globales también son máximos locales, pero la recíproca no es cierta.
El máximo local puede estar dentro de un intervalo y ser el máximo valor ahi, pero el maximo global es el máximo valor que alcanza la función y es mayor a todos los máximos locales.
DISCRIMINANTE O HESSIANO (MATRIZ HESSIANA)
Definición de matriz hessiana: si x es unvector de Rm y f(x) es una función escalar de x, se llama matriz hessiana de la función f -H(f)- a la matriz de orden mxm cuyo elemento genérico es la segunda derivada de f respecto de xi y de xj.
Matriz hessiana[pic][pic][pic][pic][pic]
En Matemática, la matriz hessiana de una función f de n variables, es la matriz cuadrada de n × n, de las segundas derivadas parciales.
Dada una función real fde n variables reales:
[pic]
Si todas las segundas derivadas parciales de f existen, se define la matriz hessiana de f como: [pic], donde
[pic].
tomando la siguiente forma
[pic]
Además, se tiene que si :[pic] con A un abierto y f clase [pic], entonces la matriz hessiana esta bien definida, y en virtud del teorema de Clairaut (ó teorema de Schwartz), es una matrizsimétrica.
Esta matriz debe su nombre al matemático alemán Ludwig Otto Hesse y fue introducido por James Joseph Sylvester.
Polinomio de Taylor
El Teorema de Taylor fue enunciado por Brook Taylor en 1712, y permite aproximar una función en un entorno de un punto donde la función sea diferenciable por aproximaciones polinómicas.
Si n ≥ 0 es un entero y f una función que es derivable n veces en elintervalo cerrado [a,x] y n+1 veces en el intervalo abierto (a,x), entonces se cumple que:
Donde [pic]denota el resto de de aproximar f por el polinomio depende de x y es pequeño si x está próximo al punto a.
y [pic]es un número entre a y x.
En general si la (n+1) derivada de f está acotada por una constante M en el intervalo (a,b) que se menciona en el teorema de Taylor, es decir, si[pic]para todo x en (a,b)
entonces
Cuando n crece indefinidamente entonces [pic]
Para algunas funciones se puede probar que el resto se aproxima a cero cuando n tiende a infinito. Dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor del punto a y se llaman funciones analíticas.
En el caso a=0 tenemos y a esta expresión la llamamos fórmula de Mac Laurin.
Veamosdos ejercicios:
Encontrar la fórmula de Mac Laurin para la función [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
En general observamos que las derivadas de orden par, evaluados en cero se anulan y las impares valen alternadamente 1 y -1.
Encuentre un valor aproximado para [pic]utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y estime el error.
Observamos que [pic], es decir se nos pide evaluar a la funciónexponencial en 0.5, el cual es un valor cercano a a = 0, punto en que conocemos a la función exponencial y a sus derivadas.
Así pues encontremos la fórmula de Taylor para f(x) = [pic]en a = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 0,5
Como la función exponencial y todas sus derivadas son iguales a 1 evaluadas en 0 tenemos [pic]
Evaluada la función en 0,5 tenemos [pic]
[pic]
Como [pic]entonces...
dirección:
[pic]
Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por cualquier desplazamiento infinitesimal, da el diferencial del campo escalar:
[pic]
Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:
[pic]máximo local (máximo relativo)
Valor de una función que es mayor que los valores de la función en puntos cercanos, pero que no es el mayor de todos los valores.
[pic]
[pic]
MAXIMO GLOBAL sea f:A-->B, A y B conjuntos, A no es vacío. P € A se dice máximo local de f si:
f(P)>= f(x) para todo x en un entorno de P, o en una bola de radio r>0 centrada en P Q € A se dice máximo global de fsi:f(Q)>= f(x) para todo x € A
Notar que los máximos globales también son máximos locales, pero la recíproca no es cierta.
El máximo local puede estar dentro de un intervalo y ser el máximo valor ahi, pero el maximo global es el máximo valor que alcanza la función y es mayor a todos los máximos locales.
DISCRIMINANTE O HESSIANO (MATRIZ HESSIANA)
Definición de matriz hessiana: si x es unvector de Rm y f(x) es una función escalar de x, se llama matriz hessiana de la función f -H(f)- a la matriz de orden mxm cuyo elemento genérico es la segunda derivada de f respecto de xi y de xj.
Matriz hessiana[pic][pic][pic][pic][pic]
En Matemática, la matriz hessiana de una función f de n variables, es la matriz cuadrada de n × n, de las segundas derivadas parciales.
Dada una función real fde n variables reales:
[pic]
Si todas las segundas derivadas parciales de f existen, se define la matriz hessiana de f como: [pic], donde
[pic].
tomando la siguiente forma
[pic]
Además, se tiene que si :[pic] con A un abierto y f clase [pic], entonces la matriz hessiana esta bien definida, y en virtud del teorema de Clairaut (ó teorema de Schwartz), es una matrizsimétrica.
Esta matriz debe su nombre al matemático alemán Ludwig Otto Hesse y fue introducido por James Joseph Sylvester.
Polinomio de Taylor
El Teorema de Taylor fue enunciado por Brook Taylor en 1712, y permite aproximar una función en un entorno de un punto donde la función sea diferenciable por aproximaciones polinómicas.
Si n ≥ 0 es un entero y f una función que es derivable n veces en elintervalo cerrado [a,x] y n+1 veces en el intervalo abierto (a,x), entonces se cumple que:
Donde [pic]denota el resto de de aproximar f por el polinomio depende de x y es pequeño si x está próximo al punto a.
y [pic]es un número entre a y x.
En general si la (n+1) derivada de f está acotada por una constante M en el intervalo (a,b) que se menciona en el teorema de Taylor, es decir, si[pic]para todo x en (a,b)
entonces
Cuando n crece indefinidamente entonces [pic]
Para algunas funciones se puede probar que el resto se aproxima a cero cuando n tiende a infinito. Dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor del punto a y se llaman funciones analíticas.
En el caso a=0 tenemos y a esta expresión la llamamos fórmula de Mac Laurin.
Veamosdos ejercicios:
Encontrar la fórmula de Mac Laurin para la función [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
En general observamos que las derivadas de orden par, evaluados en cero se anulan y las impares valen alternadamente 1 y -1.
Encuentre un valor aproximado para [pic]utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y estime el error.
Observamos que [pic], es decir se nos pide evaluar a la funciónexponencial en 0.5, el cual es un valor cercano a a = 0, punto en que conocemos a la función exponencial y a sus derivadas.
Así pues encontremos la fórmula de Taylor para f(x) = [pic]en a = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 0,5
Como la función exponencial y todas sus derivadas son iguales a 1 evaluadas en 0 tenemos [pic]
Evaluada la función en 0,5 tenemos [pic]
[pic]
Como [pic]entonces...
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