TRABAJO 1de Algebra Lineal

Trabajo de Algebra Lineal

Ejercicios 1 – 3:
27. Una compañía minera tiene dos minas. Las operaciones de un día en la mina 1 producen mineral que contiene 20 toneladas métricas de cobre y 550 kilogramos (kg) de plata, mientras que las operaciones de un día en la mina 2 producen mineral que contiene 30 toneladas métricas de cobre y 500 kg de plata.
Sean v1 = y v2 = . Entonces, v1 y v2representan el “rendimiento diario” de las minas 1 y 2, respectivamente.

a. ¿Qué interpretación física puede dársele al vector 5v1?

b. Suponga que la compañía trabaja la mina 1 durante x1 días y la mina 2 x2 días. Escriba una ecuación vectorial cuya solución proporcione el número de días que deba trabajarse cada mina para producir 150 toneladas de cobre y 2825 kg de plata. No resuelva la ecuación.

c.[M] Resuelva la ecuación del inciso (b).

Resolución

v1 = y v2 =

a) Es la salida de producción de minas en 5 días.

b) x1 + x2 =

c) 20x1 + 30x2 = 150
550x1 + 500x2 = 2825

~  x1 = 1.5 días y x2 = 4 días



28. Una planta de vapor quema dos clases de carbón: antracita (A) y bituminoso (B). Por cada tonelada de A quemada, la planta produce 27.6 millones de Btu de calor, 3100gramos (g) de dióxido de azufre, y 250 g de materia en partículas (de sólidos contaminantes). Por cada tonelada de B quemada, se producen 30.2 millones de Btu, 6400 g de dióxido de azufre, y 360 g de materia en partículas

a. ¿Cuánto calor produce la planta de vapor cuando quema x1 toneladas de A y x2 toneladas de B?

b. Suponga que el rendimiento de la planta de vapor se describe con un vector queenlista las cantidades de calor, dióxido de azufre y materia en partículas. Exprese este rendimiento como una combinación lineal de dos vectores, para ello suponga que la planta quema x1 toneladas de A y x2 toneladas de B.

c. [M] Durante cierto periodo, la planta de vapor produce 162 millones de Btu de calor, 23,610 g de dióxido de azufre, y 1623 g de materia en partículas. Determine cuántastoneladas de cada tipo de carbón debe quemar esta planta. Incluya una ecuación vectorial como parte de su solución.

Resolución

A = y B =

a) La cantidad de calor producida cuando la planta de vapor: x1(27.6) + x2(30.2)

b) La salida total producido está dada por el vector: x1 + x2

c) x1 + x2 =

27.6x1 + 30.2x2 = 162
3100x1 + 6400x2 = 23610
250x1 + 360x2 = 1623

~

 x1 = 3.9 y x2 =1.8, Por lo tanto la planta de vapor quema 3.9 toneladas de
carbón de antracita y 1.8 toneladas de carbón bituminoso.



29. Sean v1,. . ., vk puntos en R3, y suponga que para j = 1,. . ., k un objeto con masa mj se localiza en el punto vj. Los físicos llaman a tales objetos masas puntuales. La masa total del sistema de masas puntuales es

m = m1 + ∙ ∙ ∙ + mk

El centro de gravedad (o centro demasa) del sistema es

v = [m1v1 + · · · + mkvk]

Calcule el centro de gravedad del sistema constituido por las siguientes masas puntuales (vea la figura):

Punto Masa

v1 = (5,−4, 3) 2 g
v2 = (4, 3,−2) 5 g
v3 = (−4,−3,−1) 2 g
v4 = (−9, 8, 6) 1 g















Resolución

Por la fórmula m = m1 + ∙ ∙ ∙ + mk, la masa total es m = 2 + 5 + 2 + 1 = 10.
Entonces:

Para calcular encentro de gravedad utilizando la otra fórmula
v = [m1v1 + · · · + mkvk]

v = (2v1 +5v2 + 2v3 + v4)  v = (2 +5 + 2 + )

 v = = =


30. Sea v el centro de masa de un sistema de masas puntuales localizado en v1,. . ., vk como en el ejercicio 29. ¿Está v en Gen {v1,. . ., vk}? Explique su respuesta.

Resolución

Sea “m” la masa total del sistema. Por definición:

v = [m1v1 + · · · + mkvk]  v =v1 + ... + vk

La segunda expresión muestra v como una combinación lineal de v1, ..., vk, que muestra que v es en Gen {v1, ..., vk}.












31. La placa triangular delgada que se muestra en la siguiente figura tiene espesor y densidad uniformes con vértices en v1 = (0, 1), v2 = (8, 1), y
v3 = (2, 4), y su masa es de 3 g.











a. Encuentre las coordenadas (x, y) del centro de masa de...