Trabajo De Algebra

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Bolivariana
2do Semestre de Ingeniería Petroquímica “B”
Punto Fijo_ Falcón
Área: Algebra Lineal

ALGEBRA LINEAL

Pof. Medina, zuleirys Realizado Por:Reyes, Génesis

Punto Fijo 22-11-2012
Transformación lineal
Así como cuando se estudian las funciones reales interesan especialmente las funciones continuas, cuando se estudian funciones de un espacio vectorial en otro interesan aquellas que poseen ciertas propiedades especiales, por ejemplo las que conservanoperaciones. Es decir, que la función sea tal que "conserve" las dos operaciones fundamentales que definen la estructura de espacio vectorial. 

En síntesis, podemos dar la siguiente definición:
Una función T: V W (de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W) 
se dice una transformación lineal si, para todo a, b Î V, 
k Î  K (K es el cuerpo de escalares) se tiene:

T (a + b) = T (a) + T(b)

T (k a) = k T (a) |
Que se puede resumir en T ( a +  b) =  T (a) +  T (b), llamada propiedad de linealidad.
Si T: V  W es una transformación lineal, el espacio V se llama dominio de T y el espacio W se llama codo minio de T.
Propiedades:
a) Para toda transformación lineal T: V  W, T (-x) = -T (x)

 b) Para toda transformación lineal T: V  W, T (0) = 0 (El que aparece en laizquierda es el vector nulo de V, mientras que el que aparece en el lado derecho es el vector nulo de W. Se puede escribir también T (0V) = 0W )

c) Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, W un espacio vectorial, {v1,..., vn} una base de V, y {z1,..., zn} un conjunto cualquiera de vectores de W. Entonces existe una única transformación lineal T: V  W tal que T (vi) = zi (1 ≤ i ≤ n)Ejemplo:
A partir de la definición, analicemos si es lineal la siguiente transformación:

T: R2  R3 /  x Î  R2 : T ((x1, x2)) = (x1 + x2, x1 - x2, x2)

Se deben verificar las dos condiciones de la definición:

a) ¿  x, y Î  R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?
x = (x1, x2)
y = (y1, y2) 
x + y = (x1 + y1, x2 + y2) 

T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 + y1 - x2 - y2, x2 +y2) =
                                           = (x1 + x2, x1 - x2, x2) + (y1 + y2, y1 - y2, y2) = T (x) + T (y)

b) ¿  x Î  R2,  k Î  R : T (k x) = k T (x) ?

T (k x) = T (k (x1, x2)) = T (k x1, k x2) = (k x1 + k x2, k x1 - k x2, k x2) = 
                                = k (x1 + x2, x1 - x2, x2) =
                                = k T (x)

Se verifican las dos condiciones de ladefinición, entonces la transformación es lineal.

Núcleo e imagen de una transformación lineal.

En esta sección se desarrollan algunas propiedades  básicas de las transformaciones lineales.

Teorema 1. Sea T: V  W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2,….vn en V y todos los escalares

 Nota  en la parte i el 0 de la izquierda es el vector cero en v;mientras que el cero de la derecha es el vector cero en W.
i. T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0). Así 0= T(0) – T(0) = T(0) + t(0) – T(0) = T(0)
ii.T (u-v) = T[u + (-1)v] = Tu + T[(-1)v] = Tu + (-1)Tv = Tu – Tv.
iii. Esta parte se prueba por inducción (vea el apéndice 1). Para n = 2 se tiene T(α1v1 + α2v2) = T (α1v1) + T(α2v2) = α1Tv1 + α2Tv2. Así, la ecuación (1) se cumple para n = 2. Se supone que secumple para n = k y se prueba para n=k + 1: T(α1v1 + α2v2+ ….+ αkvk+αk+1vk-1 ) = T(α1v1 + α2v2+….+αkvk) + T(αk+1vk+1), y usando la ecuación en la parte iii para n= k, esto es igual a (α1Tv1 + α2Tv2+….αkTvk) + αk+1Tvk+1, que es lo que se quería demostrar. Esto completa la prueba.

Observación. Los incisos i) y ii) del teorema 1 son casos especiales del inciso iii). Un dato importante sobre las...