Trabajo de matematica

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Serie De Taylor
La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:
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Que puede ser escrito de una manera más compacta como
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Donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivadacero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno.
Serie De Maclaurin

Esta serie es un caso particular de la serie de Taylor con a=0.

Funciones De Varias Variables

Las funciones de una variable, que se han presentado en los tres últimos módulos, son una idealización conveniente de un gran número de situaciones, pero si queremos pensar enejemplos de funciones que estén relacionadas con la ingeniera, nos veremos tentados a ampliar este concepto de tal manera que incluya magnitudes que dependan de más de un factor.

Nuestro objetivo en los siguientes apartados es llegar a una definición formal de las funciones con varias variables y estudiar la extensión, en este contexto más general, de conceptos como la continuidad y ladiferenciación, que, como ya hemos visto, resultan una herramienta esencial para el análisis de funciones de una variable.

Derivadas Parciales

Empecemos con un concepto nuevo pero muy parecido al de derivada de una función variable.
.
Sea ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), 1 ≤ i ≤ n el vector i–esimo de la base canoníca de IRn, y sea f una función definida en un entorno de unpunto a ∈ IRn. Si existe el límite:

Lim f(a1, . . . , ai−1, ai + h, ai+1, . . . , an) − f(a1, . . . , an)
h→0 h

Se denomina derivada parcial i–´esima de la función f en el punto a y se designa por ∂f / ∂xi. (a)

Derivación Implícita

Es posible derivar una función dada implícitamente sin necesidad de expresarloexplícitamente. El método consiste en derivar los dos miembros de la relación. El procedimiento se conoce como derivación implícita.

Se denomina función implícita cuando se da una relación entre x y y por medio de una ecuación no resuelta para y, entonces y se llama función implícita de x.

Diferenciabilidad

En el caso de varias variables, la diferenciabilidad también es unaaproximación lineal a una función, alrededor de un determinado punto.

La Regla De La Cadena

Hay una serie de funciones elementales con las que nos encontramos muy a menudo, ya desde la enseñanza primaria: suma y resta, multiplicación y división, potenciación y radicación. También hay otras tantas que habréis tenido ocasión de ver posteriormente, como los logaritmos, exponenciales ofunciones trigonométrica. Todas estas funciones son continuas y diferenciables y, de hecho, casi todos los ejemplos de funciones que encontrar es en este texto de cálculo diferencial (o en cualquier otro de un nivel similar) no son más que el resultado de hacer “mezclas” con estas funciones.

Estas mezclas conforman lo que, en lenguaje más formal, se denomina la composición de funciones. Porejemplo, la función f(x) = ln[sin2 x] es El resultado del proceso de composiciones siguiente:

x _→ sin x _→ sin2 x _→ ln[sin2 x].

Es decir, hemos compuesto el seno con el cuadrado y, después, todo esto con el logaritmo. La regla de la cadena facilita mucho el trabajo con estas funciones: para encontrar las derivadas de funciones compuestas es suficiente con conocer las derivadas de lasfunciones elementales.

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Serie de Taylor

Si f (z) es analítica en un círculo abierto [pic], admite en dicho dominio una representación en serie:

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Que podemos escribir: [pic] con [pic].

Esta serie de potencias es el llamado desarrollo de f(z) en serie de Taylor en un entorno de [pic].

Si [pic] la serie de Taylor se conoce como serie de...
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