Ecuaciones Diferenciales (Trabajo)

UNIVERSIDAD DE CHILE
´
FACULTAD DE CIENCIAS F´ISICAS Y MATEMATICAS
´
DEPARTAMENTO DE INGENIER´IA MATEMATICA
MA2601 - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Gu´ıa de Ejercicios
1. Verificar que lasfunciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:
sen(x)
; xy + y = cos(x).
(1) y =
x
x
−x
(2) y = e − e − 12 sen(x); y − y = sen(x).
(3) y = arcsen(xy);
(4) y = e−x

x

2

x

y (1 − x2 y 2 − x) = y.

2

2

et dt + c1 e−x ; y + 2xy = 1.
0

sen(t2 )dt; y = xy + y 2 sen(x2 ).

(5) x = y
0
t

(6)
(7)

x = te

y = e−t

;

(1 + xy)y + y 2 = 0.

x = t ln(t)

; y ln(y /4) = 4x.
y =t2 (2 ln(t) + 1)
(8) x3 − 4x2 y + 2xy 2 − y 3 = 0; (3x2 − 8xy + 2y 2 )dx − (4x2 − 4xy + 3y 2 )dy = 0
c
dx
1
.
(9) y 3 = + 3 ; xy 2 dy + y 3 dx =
x x
x
dy
x+y
(10) arctan(y/x) − ln(c x2 + y 2 ) = 0;
=.
dx
x−y
2. Si y = y 2 − 1, verificar que
1 + ce2x
es soluci´
on general.
1 − ce2x
(b) Explicar porque y = −1 es soluci´on singular.
(a) y =

3. Dada una curva y = y(x), sea LT (x) la longitud de larecta tangente entre el punto
P = (x, y(x)) y su punto de intersecci´on T con el eje OX.
(a) Demuestre que
LT (x) =

y(x)
y (x)

1 + y (x)2 .

(b) Si a es una constante no nula, encuentre la ecuaci´ondiferencial de la familia de curvas
que verifican
LT (x) = a(y(x))2 .
(c) Demuestre que la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas del item
b) est´
a dada por
y(x) =

1
cosh(ax + b),b ∈ R.
a

4. Para las siguientes familias de curvas, haga lo siguiente:
(a) Escriba la ecuaci´
on diferencial que describe la familia.
(b) Haga lo mismo para la familia ortogonal.
(c) Con un poco deingenio, descubra la ecuaci´on de la familia ortogonal.
(d) Grafique ambas familias.

1

(1) Familia de c´ırculos tangentes al eje OY en el origen x2 + y 2 = 2cx, c ∈ R.
(2) Las rectas que pasan porel punto (1,2).
(3) Las curvas tales que la normal al gr´afico por el punto (x, y(x)) corta al eje OX en el
punto (2x, 0).
5. Se desea graficar la funci´
on y(x) = y = e−x

x

2

2

et dt, para x ≥...