trabajo ecuaciones diferenciales

INTRODUCCION

En este curso de Ecuaciones Diferenciales, se comprendió de una manera adecuada los conceptos y Teoremas centrales de la asignatura y en segundo lugar ser capaz de aplicar este conocimiento a la resolución de problemas.
Para alcanzar el primer objetivo se realizó la asistencia virtual y participativa en las clases, de igual manera se realizó una consulta exhaustiva de labibliografía. Sin embargo, muchas veces las técnicas que se usan en la resolución de problemas, no son claras para el alumno y se dificulta alcanzar la aplicabilidad ya que los conceptos solamente enuncian los conceptos y sus ejemplos son los más simples.
Cada uno de los ejercicios resueltos contiene un resumen de las definiciones y teoremas más importantes lo cual nos permite introducirnos y posteriormentese aplica la teoría mediante la resolución de cada uno de los ejercicios, al igual que en la resolución de los problemas.
























FASE 1- UNIDAD 1, ACTIVIDAD INDIVIDUAL
Temática: introducción a las ecuaciones diferenciales
Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación:

Ecuaciones diferenciales lineales.
Una E.D. de la forma:

Dondea1(x) ≠ 0, en I y a1(x), a0(x), h(x) son continuas en I, y los términos que se encuentren de la variable ‘y’ se deben establecer bajo el exponente 1; se le llama E.D. lineal en y, de primer orden. Dividiendo por a1(x), se obtiene la llamada ecuación en forma canónica o forma estándar:

Donde

Ecuación
Linealidad
Orden
A.
No lineal: Ya que la función Sen y ≠ y
Primer orden
B.
Es lineal ya quecumple con las dos condiciones. Presenta coeficientes constantes.
Segundo orden
C.
Es lineal ya que cumple con las dos condiciones. Presenta coeficientes constantes.
Segundo orden
D.
No es lineal: porque los coeficientes de las derivadas no están en función de x.
Primer orden
E.
Es Lineal: Por que cumple con las dos condiciones de linealidad
Primer orden
F.
No es lineal: porque ‘y’ se encuentraelevada al cuadrado
Primer orden
F. Muestre que y = 1/x es una solución de la ecuación diferencial Texto en la página Web:


Realizamos la derivada de y


Remplazando en la ecuación original

Despejando los términos comunes

0=0

Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden
A. Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables separables:


Se dice que una EcuaciónDiferencial de la forma: , es separable o de variables separables.
La anterior ecuación se puede escribir como e integrando:

Obteniéndose así una familia uniparamétrica de soluciones.
Resolviendo la ecuación

Separando variables

E integrando

Determinando la ecuación general:

Hallando C, determinamos una ecuación particular
Para x=1 y y=1


Despejando en la ecuación particular y despejando yHallando la derivada,



Despejando de la ecuación inicial comprobamos la igualdad,



B. Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala.



Teorema de ecuaciones diferenciales exactas
Si M(x,y) y N(x,y) son continuas y tienen derivadas parciales de primer orden continuas en una región R del plano XY , entonces la condición necesaria y suficiente para que la forma diferencial.

Sea unadiferencial exacta es que

Realizando un despeje de la ecuación






Hallando cada una de las derivadas,



Por lo que se establece que la ecuación es exacta.
Teorema del factor integrante


Donde G(x,y) es una primitiva de M(x,y) respecto de x. Ahora, derivamos parcialmente respecto de y la expresión obtenida para F y la igualamos a N(x,y) :

de donde despejamos

Si esta expresiónsolo depende de y, podremos integrar y obtener que, sustituida en dará la expresión de F(x,y).
Despejando en la ecuación inicial

Hallamos la derivada de la función

Verificamos las condiciones iniciales
Hallamos la solución particular

C. Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante:



Hallando cada una de las derivadas,




Teorema del factor...