Trabajo Final de Didactica


Introducción del Trabajo de Curso

En este Trabajo pretendemos hacer un análisis metodológico de la asignatura Análisis Matemático II, en especial del tema Convergencia de series de términos positivos, este análisis se llevará a cabo desglosando una Conferencia y una Clase Práctica en las diferentes partes que el trabajo requiere, como son cuestiones Metodológicas y de la Didáctica de laEducación Superior y del Plan de Estudio vigente para los estudiantes de Lic. Matemática, esperamos que el trabajo sea de su interés y agrado.






















Conferencia
Título: Criterios de convergencia para series de términos positivos
Sumario
Condición necesaria y suficiente (Criterio de acotación).
Criterio de comparación: (Criterios de mayoración y minoraciónde Gauss).
Criterio de comparación por paso al límite.
Serie armónica generalizada.
Criterio del cociente o de D’Alembert.
Criterio de la raíz o de Cauchy.
Objetivos
Conocer la condición necesaria y suficiente para la convergencia de una serie.
Conocer los criterios de comparación para la convergencia de series.
Conocer el criterio de comparación por paso al límite.
Conocer la forma dela serie armónica generalizada y cuando converge o diverge.
Conocer el criterio del cociente o de D’Alembert.
Conocer el criterio de la raíz o de Cauchy.
Introducción
Como se pudo apreciar el análisis del carácter de una serie queda muy limitado si disponemos solamente de la definición de serie convergente, por lo que se hace necesario la búsqueda de criterios prácticos que suministreninformación del carácter de una serie aunque en muchos casos no conozcamos su suma. En este caso nos dedicaremos fundamentalmente al estudio de criterios de convergencia para series de términos positivos.

Desarrollo

Condición necesaria y suficiente (Criterio de acotación)
Sea para toda n la serie converge si y solo si su sucesión de sumas parciales está acotada superiormente.


Demostración:De para todo n, resulta que la sucesión de las sumas parciales de la serie es monótona creciente, pues Por tanto la serie converge si y solo si la sucesión de sumas parciales está acotada superiormente.

Criterio de comparación: (Criterios de mayoración y minoración de Gauss)
Sean las series y tales que para todo , entonces
a) Si converge, entonces converge.
b) Si diverge, entoncesdiverge.
Demostración:
De para todo , resulta que Luego la sucesión de sumas parciales de la serie está acotada superiormente porque la sucesión de las sumas parciales de la serie convergente está acotada superiormente.
Ejemplo:
Investigue la convergencia de la serie
Tenemos, para toda n Como converge, la serie dada converge.

Corolario (Criterio de comparación por paso al límite)
Seanlas series y tales que para todo , y entonces,
a) Si y la serie converge, entonces la serie también converge.
b) Si y la seriediverge, entonces también diverge.
Ejemplo:
Analicemos la convergencia de la serie
Como Tomando resulta =
Por tanto, la serie dada converge porque la serie converge.
Serie armónica generalizada
La serie recibe el nombre de serie armónica generalizada.
Si, la serie armónica generalizada es divergente, pues de , para todo n, resulta
Si , la serie armónica generalizada es convergente.
En el caso de , la serie recibe el nombre de serie armónica y es divergente.
Demostración para p = 1.
Aplicando la Condición de Cauchy, la cual plantea: “La serie converge si y solo si para todo , existe un número natural , tal que, si , entonces
, Para todoy ”.
Sea, , como tenemos:


Es decir, de lo cual se infiere que la desigualdad de Cauchy no se satisface para los  tales que , de donde se concluye la divergencia de la serie armónica .

Ejemplos:
Son convergentes las series y
Son divergentes las series y
Criterio del cociente o de D’Alembert (J.D’Alembert (1717- 1783), filósofo y matemático francés)
Sea la...