Trabajo Herramientas

UNIVERSIDAD DE CASTILLA - LA MANCHA

´
ESCUELA TECNICA
SUPERIOR
DE INGENIEROS INDUSTRIALES

Trabajo final. Herramientas inform´
aticas
de las matem´
aticas para la ingenier´ıa

´
Jos´e Angel
Ju´arez Romero

´Indice
1. Sistemas de ecuaciones lineales. M´
etodo de Gauss
1.1. Sistemas homog´eneos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Matrices y determinantes . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1.Operaciones con matrices . . . . . . . . . . .
1.2.2. C´
alculo de la inversa por el m´etodo de Gauss

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2
3
3
3
4

2. Determinantes
2.1. Inversa de una matriz. Teorema de Cramer . . . . . . . . . . . .

4
5

3. Rango de una matriz
3.1. C´
alculo del rango de una matriz. M´etodo del orlado . . . . . . .
3.2. Teorema de Rouch´e-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6
7

1

..
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1.

Sistemas de ecuaciones lineales. M´
etodo de
Gauss

El objetivo general de este tema es discutir y resolver sistemas de ecuaciones
lineales, haciendo abstracci´
on del tipo de problemas que origina su planteamiento. Discutir un sistema consiste en averiguar si tiene o no soluci´on, y en caso
de tenerla, saber si es u
´nica o si no lo es.Resolver un sistema es calcular su
soluci´
on (o soluciones). [2]
Definici´
on 1 Se denomina sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones con
n inc´
ognitas a una expresi´
on de la forma
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1m xn = b1

(1)

a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2m xn = b2
..
..
..
.
.
.
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bn
donde los ai,j son denominados coeficientes, xn son las inc´
ognitas y bi lost´erminos independientes.
Definici´
on 2 Se denomina soluci´
on del sistema n-tupla (x¯1 , . . . x¯n ) ∈ Kn que
convierte la expresi´
on (1) en una identidad.
Definici´
on 3 Un sistema se dice compatible si posee soluci´
on, e incompatible
si no posee soluci´
on. Un sistema compatible se dice determinado si su soluci´
on
es u
´nica. En caso contrario, se dir´
a indeterminado.
Proposici´
on 1 Severifican las siguientes propiedades:
1. Si multiplicamos una ecuaci´
on por un escalar distinto de cero, las soluciones de (1) no cambiar´
an.
2. Si intercambiamos dos ecuaciones en el sistema (1), las soluciones del
mismo no cambian.
3. Si sumamos o restamos un m´
ultiplo de una ecuaci´
on a otra, las soluciones
del sistema no var´ıan.
Definici´
on 4 Una ordenaci´
on rectangular

a11 a12 . . .
 a21a22 . . .

 ..
..
..
 .
.
.
am1

am2

...


a1n
a2n 

.. 
. 
amn

Se denomina matriz de mxn (m filas y n columnas donde cada aij ∈ K. El
conjunto aij con 1 ≤ j ≤ n en la fila i-´esima, y el conjunto aij con 1 ≤ i ≤ m
2

en la columna j-´esima. El conjunto de matrices de orden mxn con coeficientes
en K se denota por Mmxn (K). Para simplificar se denota a las matrices por
A(aij )Definici´
on 5 Una matriz con ceros por debajo de la diagonal principal se denomina triangular inferior. Si los ceros est´
an por encima se dir´
a triangular
superior. Si hay ceros por encima y por debajo de la diagonal principal se llamar´
a matriz diagonal.
Una matriz se dice cuadrada si m = n. El conjunto de matrices cuadradas de
orden n con coeficientes en K se denotar´
a por Mn (K).
Una matriz cuadradase dice sim´etrica si aij = aji ∀i, j
Se denomina matriz traspuesta de A = (aij ) a la matriz At = (aji ). Por tanto,
una matriz es sim´etrica si y solo si es igual a su traspuesta.

1.1.

Sistemas homog´
eneos

Definici´
on 6 El sistema (1) se dir´
a homog´eneo si el t´ermino independiente
bi = 0.
Es inmediato comprobar que todo sistema homog´eneo es compatible, pues la ntupla (0, 0, . . . , 0)es soluci´
on del mismo, denominada soluci´
on trivial.
Proposici´
on 2 (Estructura de las soluciones de un sistema homog´eneo)
Dado el sistema homog´eneo
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1m xn = 0

(2)

a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2m xn = 0
..
..
..
.
.
.
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0
si (x1 , x2 , . . . , xn ) es soluci´
on del mismo, entonces (αx1 , αx2 , . . . , αxn ) tambi´en
es soluci´...