trabajo investigacion

El problema del Área

Clase 7

Resumen.
De igual manera que la derivada es motivada por el problema geométrico de construir una tangente a
una curva, el problema que conduce a la definición de la integral definida es el problema de encontrar
un área. Iniciamos en el estudio de los fundamentos que nos servirán para estudiar la integral
definida.

El problema del área:
Encontrar el áreaA de una región acotada por el eje x
y la gráfica de una función no negativa continua
y  f  x  definida sobre un intervalo  a, b  .

Existen dos maneras de aproximar ésta área:



Usando rectángulos inscritos, como se muestra
en la figura de en medio.

El área de esta región se denomina área bajo la gráfica
de f sobre el intervalo  a, b .
n

En este caso

El requerimientode que f sea no negativa en  a, b
significa que ninguna parte de esta gráfica en el intervalo
está por abajo del eje x .

A  A
i

i



Usando rectángulos circunscritos, como se
muestra en la figura de la derecha.

Por ejemplo, podríamos estar interesados en calcular el
área sombreada de la siguiente figura, y el problema
sería entonces ¿cuánto es la medida del área bajo lagrafica de y  x 2 en el intervalo 1,5 ?
n

En este caso

A  A
i

i

Para una función creciente:

Notación sigma.
Para calcular las sumas de las áreas de los rectángulos es
necesario introducir la siguiente notación:
Termina con este valor
de k



El símbolo

n

indica la

a

suma de ak

k

k 1

Empieza con el valor
indicado de k

Ai  f  xi 1  xAi

Ejemplo 28:

a  x  xi  xi 1

6

 La expresión

2

b  f  xi 1 

k

se expande como

k 3
6

2

k

Si el rectángulo es circunscrito entonces Ai  f  xi  x

 23  2 4  25  26

k 3
4

 La expresión

 2k

se expande como

k 1

Para una función decreciente:

4

 2k  2  4  6  8
k 1

Algunas propiedades importantes de lanotación
sigma.
n

1.

n

 ca

 c ak donde c es cualquier constante.

k

k 1

k 1

n

2.

n

 a
k 1

k 1

n

3.

n

 bk    ak   bk

k

m

a  a
k

k 1

k 1
n

k



k 1



ak , m  n

k  m 1

Algunas sumas especiales
n

 c  nc

Ai  f  xi  x

k 1

2.

k 

n  n  1

3.

k

2



n  n 1 2n  1

n

 k3 
k 1

a  x  xi  xi 1

6

k 1

4.

b  f  xi 

2

k 1
n

Ai

2

n  n  1

2

4

Es importante considerar lo siguiente:

Si el rectángulo es circunscrito entonces Ai  f  xi 1  x
Tome en consideración que cuanto mayor sea el número
de rectángulos usados, mejor es la aproximación tal

2

n

Página

1.

Seguiremos lossiguientes pasos:
1.

n

A  lim  Ak
k 1

x 

3 1 2

n
n

(base del rectángulo)

b.

c.

Ejemplo 29: calcular el área de la región limitada por
y  8  2 x, x  1, x  3 y y  0 .

Utilizar

rectángulos

2.

circunscritos.

xi 1  1   i  1 x

f  xi 1   8  2 1   i  1 x   6  2  i  1 x

(altura del rectángulo)
El área de esterectángulo es
Ai  f  xi 1  x
Ai   6  2  i  1 x  x



Solución:

2

Ai  6  2  i  1 x  x  6x  2i  x   2  x 



En la figura siguiente se muestra la gráfica de la función y
un rectángulo representativo

2

2
2
2
Ai  6  2i    2  
n
n
n

2

2

12 8i 8
 
n n2 n2
Ahora formamos la sumatoria y tomamos el límite
Ai 

3.n

A  lim  Ai
n 

i 1

n
12 8i 8 
A  lim    2  2 
n 
n
n 
i 1  n

 n 12  n  8i  n  8  
A  lim        2     2  
n 
 i 1  n  i 1  n  i 1  n  
8
12 n
A  lim   1  2
n 
n
 n i 1

n

8

n



 i   n  1

2

i 1

i 1

12
8 n  n  1 8 


A  lim   n  2 
 2  n
n 
n
n...