Trabajo Pi

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
UNEFA
ARAGUA - SEDE MARACAY

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PI-BUCKINGHAM-------------------------------------------------

ntegrantes:
ISAAC A FRANCO M
BELMIS G GUERRA C
ELINOR ORTEGA
SUSANA RAMIREZ
ALEJANDRA AGUIRRE
VICTOR MENDOZA

Maracay, julio de 2011
INTRODUCCION

El Teorema de Π (pi) de Vaschy-Buckingham es el teorema fundamental del análisis dimensional. El teorema establece que dada una relación física expresable mediante una ecuación en la que están involucradas n magnitudesfísicas o variables, y si dichas variables se expresan en términos de k cantidades físicas dimensionalmente independientes, entonces la ecuación original puede escribirse equivalentemente como una ecuación con una serie de n - k números adimensionales construidos con las variables originales.
Este teorema proporciona un método de construcción de parámetros adimensionales, incluso cuando la forma dela ecuación es desconocida. De todas formas la elección de parámetros adimensionales no es única y el teorema no elige cuáles tienen significado físico.

DESARROLLO

Si tenemos una ecuación física que refleja la relación existente entre las variables que intervienen en un cierto problema debe existir una función f tal que:

en donde Ai  son las n  variables o magnitudes físicas relevantes, yse expresan en términos de k  unidades físicas independientes. Entonces la anterior ecuación se puede reescribir como:

en donde  son los parámetros adimensionales construidos de n − k  ecuaciones de la forma:

en donde los exponentes mi  son números enteros. El número de términos adimensionales construidos n - k es igual a la nulidad de lamatriz dimensional en donde k es el rango de lamatriz.
La notación de πi como parámetros adimensionales fue introducida por Edgar Buckingham en su artículo de 1914, de ahí el nombre del teorema. No obstante, la autoría del mismo debe adscribirse a Aimé Vaschy, quien lo enunció en 1892.
EJEMPLO
Imaginemos un problema donde pretendemos relacionar la resistencia aerodinámica o fuerza aerodinámica Fa sobre un cuerpo, por ejemplo una esfera ocualquier otra forma geométrica, en función de su tamaño o dimensión característica d, la densidad del fluido ρ, la viscosidad η del mismo y la velocidad del cuerpo v en el seno de dicho fluido. Dado que parece que esas variables deberían explicar por sí mismas la resistencia aerodinámica se tiene relación matemática del tipo:1

Puesto que tenemos 5 variables relevantes . Estas cinco variables no sondimensionalmente independientes ya que desde el punto de vista dimensional se tiene en términos de masa, tiempo y longitud que:

en este caso se tiene por tanto  ya que todas las magnitudes son reducibles a sólo 3 magnitudes dimensionales independientes. Esto implica que existen  combinanciones adimensionales tales que la relación (2) se puede reducir a la forma:

Para continuar se escogenarbitrariamente 3 de las cinco magnitudes orignales como "básicas" y se forman junto con las otras dos consideradas "dependientes" productos adimensionales. En este caso se toman como básicas por ejemplo ρ, v y d (aunque podría haberse hecho otra eleccion). Ahora buscamos exponentes enteros tales que los siguientes productos sean adimensionales:

La condición de adimensionalidad para  lleva a que porejemplo:

Esto lleva al sistema de ecuaciones sobre los enteros:

Análogamente para el parámetro , se llega a que:  y por tanto la relación buscada es:

Si se asumen cierta condiciones de regularidad y diferenciabilidad sobre la función anterior, podrá usarse el teorema de la función implícitapara escribir las relaciones:

Esta última ecuación dice es consistente con la expresión común...