Trabajo Practico de Algebra - Transformaciones en el plano

Transformaciones geométricas en el plano

Las matrices no son objetos estáticos que sólo almacenan información y datos. Además tiene la particularidad de actuar sobre puntos X (o vectores cuyas componentes son las coordenadas de esos puntos) transformándolos en otros puntos (o vectores, según interpretación geométrica por la que se opte) a través de una simple multiplicación del tipo A. X.Trabajemos sobre puntos en R2, del tipo X = y observemos los cambios que sobre cada uno de estos puntos produce la premultiplicación por una matriz de R2x2.

Si A = , entonces A . X = que es un nuevo punto (o vector) de R2. Veamos el efecto sobre los puntos de un cuadrado unitario de la multiplicación por algunas matrices particulares.



Enfocaremos la atención en otros efectos que lamatriz A produce sobre puntos del plano: expansiones y compresiones, deslizamientos cortantes y proyecciones.


Expansiones Si la abscisa de cada punto del plano se multiplica por
y compresiones una constante k positiva , el efecto es comprimir
( si o< k 1) cada figura del plano en la dirección del eje x. Dicho efecto recibe elnombre de compresión o expansión en la dirección de x con coeficiente k. Puede expresarse como un producto matricial del tipo de los que hemos analizados antes:





De la misma forma, la matriz para comprensión o una expansión de coeficiente k en la dirección del eje y es:


Deslizamiento Si cada punto del plano se mueveparalelamente al eje
cortante x en una cantidad ky hasta la posición (x + k y, y ), se
dice que se ha producido un deslizamiento cortante en la dirección del eje x con coeficiente k. Los puntos del eje x no se mueven pues para ellos y = 0. En cambio, a mayor valor de la ordenada, más avanzan los puntos en la dirección del eje x, de modo que los puntos más alejadosdel eje x recorren una distancia mayor que los puntos próximos a él.


La matriz que actúa sobre es . En efecto:

A. X =


Análogamente, se puede definir un deslizamiento cortante en la dirección del eje y. La matriz que actúa sobre cada punto es del tipo:




Actividades

Teniendo en cuenta el material teórico anterior, les proponemosque resuelvan los siguientes ejercicios que tratan sobre los efectos de la premultiplicación de un punto (o vector) de R2 por una matriz A de R2x2.
Esta tarea se centra en las rotaciones, reflexiones, expansiones y compresiones, y deslizamientos cortantes.

Para resolver el TP, pueden trabajar de a dos o en forma individual.
Les pedimos que suban el archivo con la resolución al aula virtual,como hicieron con el trabajo de matrices.


Rotaciones, reflexiones, expansiones y compresiones, deslizamientos cortantes

1) Sea F el triángulo de vértices P1 (0,0) P2(1,0) P3 (0,1). Indiquen cuál es la matriz que transforma el triángulo F en cada una de las siguientes figuras






















2)Grafiquen la imagen del triángulo F si se le aplica una compresión en la dirección del eje "x", de factor k = - 1/2
¿Cuál es la matriz que caracteriza a esta transformación?
¿Cuál es la matriz que transforma a la figura obtenida en la original? ¿Por qué?

3) En los dos ejercicios anteriores, les pedimos que:
a) hallen el área de cada uno de los triángulos transformados bajo el efecto demultiplicar los vértices del triángulo original por una matriz;

b) calculen el determinante de la matriz correspondiente en cada caso;

c) expresen en lenguaje natural o en lenguaje matemático (el que les resulte más cómodo en este caso) si pueden establecer alguna relación entre el área de la figura original y el área de la figura transformada.

Cuando se logra escribir en forma apropiada...