trabajo virtual

Tema 9: SOLICITACIONES COMBINADAS

z
Vz
T

N
x

Mz
My
L
Vy
y

Problemas resueltos

Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana
E.P.S.-Zamora – (U.SAL.) - 2008

9.1.-En la viga de la figura calcular por el Teorema de los Trabajos Virtuales:
1) Flecha en C
2) Giro en B
Datos: IPE-180, E = 2,1.105 N/mm2
5
4
9

E .I z = 2,1.10 .1320.10 = 2772.10 N .mm 2

20 kN

RA

RBB

C

A

1m

3m

Ecuaciones de equilibrio:

∑F =0
∑M =0
A

RA + RB = 20

RA = 15 kN
RB = 5 kN

RB .4 = 20.1

0 − x − 1 M ´z = 15.x

Esfuerzos en la viga:

1 − x − 2 M ´z = 5.(4 − x )
1.-Flecha en C:
1 kN

RA

A

RB

C

B

1m

3m

∑F = 0
∑M = 0

Ecuaciones de equilibrio:

A

R A + RB = 1

RA = 0, 75 kN

R B . 4 = 1 .1

RB = 0, 25 kN

0 − x− 1 M z = 0,75 .x

Esfuerzos en la viga:

1 − x − 2 M z = 0,25 .( 4 − x )
Aplicando el Teorema de los Trabajos Virtuales a la viga con carga unitaria:
L

∑ Fi .δ ´i +∑ Ri .∆´i = ∫
0

δ ´i = yC

Fi = 1 kN

M z .M ´z .dx
E .I z

Ri = ( R A = 0, 75 kN

1

1. yC + 0 =

( se desprecia efectosVy )

1

RB = 0, 25 kN )

∆´i = 0

y sustituyendo :

4

0

y

siendo:∫ 0, 75.x.15.x.dx + ∫ 0, 25.(4 − x).5.(4 − x).dx
2772.109.10−3.10−6

⇒

yC = 0, 0054 m = 5, 4 mm ↓

2.-Giro en B:
RB

RA

A

1 kN.m
B

C
1m

3m

∑F = 0
∑M = 0

Ecuaciones de equilibrio:

A

R A = RB

RA = 0, 25 kN

R B .4 = 1

RB = 0, 25 kN

0 − x − 4 M z = 0,25.x

Esfuerzos en la viga:

Aplicando el Teorema de los Trabajos Virtuales a la viga con cargaunitaria:
L

∑ Fi .δ ´i +∑ Ri .∆´i = ∫
0

δ ´i = ϑB

Fi = 1 kN .m
1

1.ϑB + 0 =

M z .M ´z .dx
E .I z

( se desprecia efectosVy )

Ri = ( RA = 0, 25 kN

y

RB = 0, 25 kN )

∆´i = 0

4

∫ 0, 25.x.15.x.dx + ∫ 0, 25.x.5.(4 − x).dx
0

siendo:

1

2772.109.10−3.10−6

⇒

ϑ B = 0,0045 rad

y sustituyendo :

9.3.-Calcular aplicando el Teorema de los TrabajosVirtuales el alargamiento total de la
barra de la figura
Datos: E = 2,1.105 N/mm2
RA

A

4 cm

2m
2m

2

20 kN

2m

2 cm
1 cm

4m
B

2

10 kN

∑F =0

Ecuaciones de equilibrio:

2

RA + 10 = 20 → RA = 10 kN

0− x−2

N ´= −10

2− x−4

N ´= −10

4− x−6

Esfuerzos en la barra:

N ´= −10 + 20 = 10

6 − x − 10

N ´= 10

Alargamiento de la barra: ∆L
RAA

4 cm

2 cm

2

1 cm

2m

2

2

2m
2m
4m
B
1 kN

∑F =0

Ecuaciones de equilibrio:

0 − x − 10

Esfuerzos en la barra:

RA = 1 kN
N =1

Aplicando el Teorema de los Trabajos Virtuales a la viga con carga unitaria:
L

∑ Fi .δ ´i + ∑ Ri .∆´i = ∫
0

Fi = 1 Kg

δ ´i = ∆L

N .N ´ .dx
E. A

siendo:

Ri = RA = 1 kN

2

1.∆L + 0 =

0
−3

62,1.10 .10 .10 .4.10
⇒

y sustituyendo :

4

∫ 1.(−10).dx
5

∆´i = 0

−4

+

6

∫1.(−10).dx
2
5

3

2,1.10 .10 .2.10

∆L = 0, 00167 m = 1, 67 mm

−4

+

10

∫ 1.10.dx
4
5

3

2,1.10 .10 .2.10

( se al arg a )

−4

+

∫ 1.10.dx
6

2,1.105.103.1.10−4

9.4.-En la barra de la figura calcular las reacciones en los empotramientos utilizando el
Teoremade los Trabajos Virtuales
TA

To

TB

To

A

B
L/3

Ecuaciones de equilibrio:

L/3

∑T = 0

L/3

TA + TB = T0 + T0

(1)

Se tiene 1 ecuación de equilibrio y 2 incógnitas ⇒ VIGA HIPERESTÁTICA
para su resolución iremos a la viga isostática equivalente
Viga isostática equivalente: condición: ϕB = 0

TA

To

(2)

TB

To

A

B
L/3

Esfuerzos en la barra:L/3

L/3

0− x− L/3

T ´= −TA

L / 3 − x − 2.L / 3 T ´= −TA + T0
2.L / 3 − x − L

T ´= TB

Desarrollemos la ecuación (2) aplicando el método del Teorema de los Trabajos Virtuales:

TA

1 kN.m

A

B
L

Ecuaciones de equilibrio:
Esfuerzos en la barra:

∑T = 0
0− x−L

TA =1

T =1
L

Teorema de los Trabajos virtuales:

siendo:

Fi = 1 kN .m

T .T ´.dx
G. I t...