trabajo virtual

Análisis estructural 1
Fac. Ingeniería, U.A.Z.

Cálculo de desplazamientos por trabajo virtual

Diego Miramontes De León
Resumen

Uno de los métodos más comunes para calcular los desplazamientos en las estructuras es el de
la carga unitaria. Aunque se puede recurrir directamente a las expresiones simples propuestas
por el método, es útil identificar que el método se basa en dosprincipios básicos. Estos son el
concepto de energía y la ley de la conservación de la energía. En el primero se deducen los
teoremas de Castigliano y de Engesser, mientras que con el segundo se formula el método de
la carga unitaria. Este método se presenta para el caso particular de vigas en flexión y
armaduras.
Teoremas de Energía
Castigliano 1879 .- Energía de deformación elástica restringida aestructuras con diagramas
lineales de carga-desplazamiento (comportamiento elástico).
Engesser 1889 .- Energía complementaria, sin especificar que la estructura tenga un diagrama
lineal.
Asumiendo el diagrama carga-desplazamiento mostrado :

P
P

∆

A

L

P+δP
P

∆

0

Fig. 1. Estructura sujeta a carga axial

d∆

∆ ∆ + δ∆

Fig. 2. Diagrama carga-desplazamiento

Eltrabajo realizado para un incremento de ∆ es P•δ∆ y por definición este trabajo es igual al
incremento en la energía de deformación elástica. Entonces el incremento total de la energía
elástica U cuando la carga aumenta de 0 a P1 será :
1

U =

∫

∆1

0

Pd∆

Esta integral es igual al área bajo la curva de la línea 0A. De esa misma ecuación puede
obtenerse :

∂U
=P
∂∆

Part Idel Teorema 1 de Castigliano

Si la energía total es parcialmente derivable con respecto a un desplazamiento, el resultado
da la carga debido a ese desplazamiento en su línea de acción.
Puesto que la línea 0A es una recta, las áreas arriba y bajo de ella serán iguales, entonces :

∫

∆1

0

P1

Pd∆ = ∫ ∆dP
0

de donde se deduce que :

∂U
=∆
∂P

Parte II del Teorema 1 deCastigliano

Si la energía total es parcialmente derivable con respecto a una carga aplicada, el resultado
da el desplazamiento de esa carga en su línea de acción.

El segundo teorema de la energía elástica o teorema de compatibilidad de Castigliano trata de
las relaciones entre la energía de deformación elástica y la acción de una fuerza en una
estructura estáticamente indeterminada. En este seestablece que la energía elástica total
parcialmente derivable con respecto a la carga redundante es igual a la falta inicial de ajuste
de dicho elemento. Si no hay falta de ajuste la derivada parcial será igual a cero :

∂U
=0
∂R
Esta ecuación representa una condición para el valor mínimo de la energía de deformación
elástica. El incremento en tal energía es, sin embargo, igual altrabajo correspondiente al
desplazamiento de las cargas aplicadas. De esta manera, la relación implícita en la ecuación
anterior expresa también una condición para el valor mínimo del trabajo realizado (Principio
del trabajo mínimo)
Como aplicación del segundo teorema, supóngase un marco doblemente empotrado :

2

Análisis estructural 1
Fac. Ingeniería, U.A.Z.

Pv

Ph

A

H

B
VM

Fig. 3. Estructura estáticamente indeterminada de 3er grado
Si las redundantes se consideran las reacciones en B (soporte completamente fijo), según la
parte II del teorema se tendrá :

∂U ∂U ∂U
=
=
=0
∂H ∂V ∂ M
Esto implica que existen tres condiciones de compatibilidad que representan tres ecuaciones
para resolver las tres incógnitas.
Primer teorema de la energía complementariaPara una relación no lineal entre cargadesplazamiento la energía de deformación
elástica sigue siendo

∫

∆1

0

A

Pd∆

El área a la izquierda de la curva 0A y el eje P
es

P

∫

P1

0

∆dP

dP

y se conoce como energía

complementaria. Esta tiene las
dimensiones que la energía elástica.

∆

mismas

0

d∆

Fig. 4. Diagrama no lineal carga-desplaz....