TRABAJO

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. II
2007-2008

APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES

DEFINICIONES
Si en una matriz seleccionamos r filas y r columnas, los elementos en los que se
cruzan formanuna submatriz cuadrada de orden r. El determinante de esa submatriz se
llama menor de orden r de la matriz inicial.
Si en una matriz cuadrada nn destacamos un elemento, aij , al suprimir su fila ysu columna se obtiene una submatriz n 1n 1 . Su determinante es un menor de
orden n-1 que se llama menor complementario del elemento aij y se designa por αij .
i j

Se llama adjunto deaij al número Aij  1 ·αij , es decir, al menor
complementario con su signo o con el signo cambiado, según que i+j sea par o impar.

RANGO DE UNA MATRIZ
Recordemos que la definición de rango deuna matriz es el número de filas (o de
columnas) linealmente independientes. Aprovecharemos las propiedades de los
determinantes para calcular el rango:
Rango de una matriz es el máximo orden de susmenores no nulos. Por lo tanto,
empezaremos por destacar un menor de orden dos no nulo. A continuación lo vamos
ampliando (orlando) a orden tres, cuatro,… sucesivamente hasta que encontremos unmenor nulo de cierto orden, y el orden anterior será el rango; o bien todos los menores
de ese orden son no nulos y tenemos que pasar a estudiar el siguiente.

DISCUSIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONESTeorema de Rouché-Frobenius
La condición necesaria y suficiente para que tenga solución el sistema

a11x1  a12 x 2  a13x 3    a1nxn  b1



a21x1  a22x 2  a23x 3    a2nx n  b2




a x  a x  a x    a x  b
 m1 1
m2 2
m3 3
mn n
m

es que el rango de la matriz de los coeficientes, A, coincida con el rango de la matrizampliada, A|B.
1

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC.SS. II
2007-2008

 a11 a12


 a21 a22

A 
 




am1 am2


a13
a23

am3






 a11 a12
a1n 



...