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Tema 3: Series de Fourier
1. Introducción. 2. Autofunciones de los sistemas LTI. 3. Ortogonalidad. 4. Representaciones de Fourier. 5. Series de Fourier continuas (FS). 1. Análisis y síntesis. 2. Aproximación de mínimos cuadrados. 3. Convergencia. 4. Propiedades. 6. Series de Fourier discretas (DTFS o DFT). 7. Series de Fourier y sistemas LTI.

c Luis Vielva, Grupo de Tratamiento Avanzado deSe˜ nal. Dpt. Ingenier´a de Comunicaciones. Universidad de Cantabria. Se˜ ı nales y sistemas. Tema 3: Series de Fourier. OpenCourseWare – p. 1/49

3.1 Introducción
Para los sistemas LTI: ¿Ventaja de expresar señales en términos de funciones base φk [n]? Una buena base: generalidad, sencillez. Funciones base del tema 2: impulsos desplazados,
x[n] =
∞ k=−∞ ∞ k=−∞

x[k]δ[n − k] → y[n] =x[k]h[n − k].

Funciones base Fourier: exponenciales complejas,
φ(t) = est , φ[n] = z n .

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3.2 Autofunciones de los sistemas LTI (I)
Un vector no nulo x ∈ Cm es un vector propio y λ ∈ C un autovalor siAx = λx. Idea clave: la acción de la matriz A sobre un subespacio S de Cm se reduce a una multiplicación escalar. El conjunto de los autovalores de A es su espectro, un subconjunto de C denotado por Λ(A). Elementos del espacio vectorial: vectores. Operadores sobre los elementos: matrices. Sea A ∈ Cm×m una matriz cuadrada.

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3.2 Autofunciones de los sistemas LTI (II)
Elementos del espacio vectorial: funciones. Operadores sobre los elementos: sistemas.
H{φ(t)} = h(t) ∗ φ(t).

La acción del sistema sobre las funciones es una convolución. Una función no nula φ(t) es una autofunción y λ es unautovalor si H{φ(t)} = λφ(t). Idea clave: la acción del sistema H{·} sobre ciertas funciones se reduce a una multiplicación escalar.

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3.2 Autofunciones de los sistemas LTI (III)
La operación delsistema sobre una autofunción es simplemente una multiplicación escalar
H{φk (t)} = λk φk (t).

Idea: tomar como base para representar funciones las autofunciones de los sistemas LTI. Si x(t) =
k

a[k]φk (t), y(t) = H{x(t)} =
k

a[k]λk φk (t).

La entrada y la salida son combinación lineal de las funciones base.
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3.2 Autofunciones de los sistemas LTI (IV)
y(t) = x(t) ∗ h(t) =
∞ −∞

h(τ )x(t − τ ) dτ.

Si x(t) = est ,
y(t) =
∞ −∞

h(τ )es(t−τ ) dτ = est

∞ −∞

h(τ )e−sτ dτ ≡ H(s)x(t).

Autovalor λ:
H(s) =
∞ −∞

h(τ )e−sτ dτ.

s = α + jΩ. Si α = 0, transformada deFourier. Si α = 0, transformada de Laplace.
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3.2 Autofunciones de los sistemas LTI (V)
y[n] = x[n] ∗ h[n] =
∞ k=−∞

h[k]x[n − k].

Si x[x] = z n ,
y[n] =
∞ k=−∞

h[k]z n−k = z n

∞ k=−∞

h[k]z−k ≡ H(z)x[n].

Autovalor λ:
H(z) =

∞ k=−∞

h[k]z −k .

z = rejω . Si r = 1, transformada de Fourier. Si r = 1, transformada z .
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3.3 Ortogonalidad (I)
Sean φ(t) y ψ(t) dos funciones...
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