Trabajo

IN56A J. Miguel Cruz CAPM

Avanzando hacia el Capital Asset Pricing Model - CAPM. (I).
rp

Pedir prestado P Prestar
X X X X X X X X X X X X X X X X

rf

CAPM

Supongamos que el portafolio P es eficiente para un inversionista en particular que puede prestar y pedir prestado a la tasa libre de riesgo rf. Si el portafolio es eficiente, no existe ninguna combinación del portafolio conotro instrumento i que tenga un mayor ratio de retornos por sobre rf por unidad de riesgo [ (rp – rf) / σp] 2007 J. Miguel Cruz
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σp

Avanzando hacia el Capital Asset Pricing Model - CAPM. (II).
• Consideremos todas las combinaciones entre el portafolio P y el instrumento i.
rp •

Avanzando hacia el CapitalAsset Pricing Model - CAPM. (III).
Calculando el retorno y la varianza del portafolio Q (el instrumento i puede estar incluído en P pero mantendremos los ponderadores para P fijos).

P
100% en Portafolio P

r

Q 2

= x r i + (1 − x) r P =x
2 2 i

σ

Q

σ + (1− x) σ
2

2 P

+ 2 x(1 − x)σ iP

rf
100% en portafolio i
σp
La curva anterior muestra todas las combinaciones deretorno y desviación estándar para el portafolio resultante Q.
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Evaluando la pendiente de la línea de retorno/riesgo para el portafolio Q en x=0

∂ rQ ∂ rQ ∂x = ∂σ Q ∂σ Q ∂x ∂ rQ = ri − r P ∂x 2 ∂σ Q 1 ∂σ Q = ∂x 2 σ Q ∂x

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Avanzando hacia el Capital Asset Pricing Model - CAPM. (IV).
• Entonces

Avanzando hacia el Capital Asset Pricing Model - CAPM. (V).
• Esta pendiente debe ser igual a la pendiente de la línea conectando rf y la combinación de r y s que provee el portafolio P.

∂σ Q 1 = [2 x σ i2 + 2 x σ 2 − 2 σ 2 + 2 σ iP − 4 x σ iP ] P P ∂x 2σ Q ∂ σ Q x (σ i2 + σ 2 − 2 σ iP ) − σ 2 + σ iP P P = ∂xσQ Evaluando en x = 0 (σ Q = σ P cuando x = 0) ∂ σ Q − σ 2 + σ iP P = ∂x σQ Entonces ∂ rQ ∂ rQ ∂x = σ P (r i − r P ) = 2 ∂σ Q ∂σ Q σ iP −σ P ∂x

σ P (r i − r P ) = r P − r f 2 σP σ iP −σ P

ri − r P =

σ iP ( − ) rP rf σ2 P r i − r P = β iP (r P − r f )

• Si todos los inversionistas tienen las mismas creencias sobre los retornos esperados, todos mantendrán el portafolio eficientereduciendo su elección al tradeoff entre rp y sp.
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Los inversionistas sólo se preocupan de la contribución que hace cada instrumentoal riesgo total del portafolio.

Beta de una acción
Para el caso de un activo en particular,

w1 w1 w2 w3 σ11 σ21 σ31

w2 σ12 σ22 σ32

w3 σ13 σ23 σ33

w ∑wσ w ∑wσ
1 i i 2 i

1i

= w1σ 1P = w2σ 2 P = w3σ 3 P
2 P

ri = rF + β i ⋅ ( rM − rF )
En donde,

2i

w ∑wσ
3 i i

i

3i

∑∑ w w σ = σ
i j ij i j

Como vemos la contribución del instrumento i a la varianza delportafolio queda definido por:
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βi =

σ iP = β iP σ2 P
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Cov ( ri , rM ) σ iM = 2 Var ( rM ) σM
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Cada instrumento en un portafolio eficiente tiene retorno por sobre rf, proporcional a su beta. rf, ri − rf = rP − rf σiP σ2 P σ iP ( − ) ri − rf = 2 r P rf σP
Esto aplica a cualquier portafolio eficiente. Sin embargo, supongamos que todos los inversionistas eligen portafolios eficientes y que tienen la misma información. Entonces, todos querrán tener el mismo portafolio S. Adicionalmente, dado que todos las acciones deben tener un dueño, el portafolio S debe ser el mercado. Esto es CAPM.

Resumen de los...