Trabajos U

FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL

Matemática II
TEMA:
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer
orden: Crecimiento de Poblaciones

Integrantes:
Acero Chávez Yury
Agüero Ramos Bryam
Díaz Ysla Bruno
Ramos García Ebenezer
Vásquez Carrión Jhon

Docente:
Lic. María Elena Cotrina León

TRUJILLO – PERÚ
2013

INTRODUCCIÓN

Con frecuencia sedesea describir el comportamiento de algún sistema o
fenómeno de la vida real en términos matemáticos; dicho sistema puede ser
físico, sociológico o hasta económico.
La descripción matemática de un sistema o fenómeno se llama modelo
matemático y se forma con ciertos objetivos en mente, por ejemplo, podríamos
tratar de comprender los mecanismos de cierto ecosistema estudiando el
crecimiento delas poblaciones de animales, o podríamos tratar de fechar
fósiles analizando la desintegración de una sustancia radiactiva; para esto se
formula un modelo matemático (sea una ecuación diferencial o un sistema de
ellas), llegamos a resolver el problema y luego comprobamos que el modelo
sea razonable si su solución es consistente con los datos experimentales o los
hechos conocidos acerca delcomportamiento del sistema. Nuestra meta es
emplear la ecuación diferencial para predecir el valor futuro de la cantidad que
se está modelando.
En el presente trabajo nos concentraremos en la formulación de ecuaciones
diferenciales como modelos matemáticos aplicados en el crecimiento
poblacional, desarrollando algunos métodos para poder resolverlos.

OBJETIVOS

 Tratar de resolver problemasreales utilizando procesos matemáticos, es
decir tratar de modelar un problema.
 Aplicar los conocimientos adquiridos en la asignatura de Matemática II
mediante el planteamiento y resolución de un modelo matemático.
 Modelar la situación problemática relacionada con el crecimiento
poblacional.
 Reconocer los datos que se utilizarán en el modelo matemático de
crecimiento poblacional.
Usar funciones exponenciales para modelar el crecimiento en problemas
de aplicación.
 Identificar y resolver ecuaciones diferenciales de primer orden de variables
separables y las respectivas soluciones.
 Graficar una ecuación diferencial aplicada al crecimiento poblacional.

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN: CRECIMIENTO DE POBLACIONES

ECUACIÓN DIFERENCIALDE PRIMER ORDEN
Se llama lineal de primer orden a toda ecuación de la forma:
( )

( )

Para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales, se deben seguir un grupo
de pasos para llegar luego a una E. D. de variable separable que se resuelve
de forma mucho más sencilla.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES
Se dice que una ecuación diferencial ordinaria es de variableseparable si se
puede escribir en la forma:
( )
( )
Esta ecuación se expresa en forma diferencial como
( )

( )

Y se resuelve integrando ambos miembros.
CRECIMIENTO DE POBLACIONES
En esta parte de la matemática se estudian ecuaciones diferenciales de primer
orden que rigen el crecimiento de varias especies. A primera vista parece
imposible describir el crecimiento de una especie por medio deuna ecuación
diferencial, ya que el tamaño de una población no puede ser una función
diferenciable con respecto al tiempo. Sin embargo, si el tamaño de una
población es grande y se incrementa en uno, entonces el cambio es muy
pequeño comparado con el tamaño de la población. Así pues, se toma la
aproximación de qué poblaciones grandes cambian continuamente, e incluso
de manera diferenciablecon respecto al tiempo.

En biología se ha observado que en cortos periodos, la rapidez de crecimiento
de algunas poblaciones (como la de las bacterias o de animales pequeños) es
proporcional a la población presente en el tiempo t. Si conocemos una
población en cierto tiempo inicial arbitrario t0, la solución de la ecuación
propuesta nos sirve para predecir la población en el futuro –...