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EJERCICIO 1
HISTORIA DEL CÁLCULO INTEGRAL
Desde su origen, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los métodos de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La técnica de integración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en el cálculo diferencial.Surgimiento del símbolo
Leibniz creó el símbolo en la última parte del siglo XVII. La es una S alargada de summa (palabra latina para suma). En sus primeros escritos usó la notación "omn." (Abreviatura de la palabra en latín "omnis") para denotar la integración. Después, el 29 de octubre de 1675, escribió, "será conveniente escribir en vez de omn., así como en vez de omn.l ...". Dos o tres semanasdespués mejoró aún más la notación y escribió en vez de solamente. Esta notación es tan útil y significativa que su desarrollo por Leibniz debe considerarse como una piedra angular en la historia de la matemática y la ciencia.
La notación de la integral definida ayuda a tener en cuenta el significado de la misma. El símbolo hace referencia al hecho de que una integral es un límite de una suma detérminos de la forma "f(x) por una pequeña diferencia de x". La expresión dx no se considera por separado sino que forma parte de la notación que significa "la integral de una determinada función con respecto a x". Esto asegura que dx no tiene significado por si mismo sino que forma parte de la expresión completa . De todos modos, desde un punto de vista totalmente informal e intuitivo algunos consideranque la expresión dx indica "una porción infinitesimalmente pequeña de x" que se multiplica por un valor de la función. Muchas veces esta interpretación ayuda a entender el significado de la integral definida. Por ejemplo, si v(t) (positiva) es la velocidad de un objeto en el instante t entonces v(t) dt se podría interpretar, según la consideración hecha, como velocidad . Tiempo y esto sabemos queda por resultado la distancia recorrida por el objeto durante un instante, una porción de tiempo muy pequeña dt. La integral se puede considerar como la suma de todas esas distancias pequeñas que como ya analizamos da como resultado el cambio neto en la posición del objeto o la distancia total recorrida desde t = a hasta t = b.
Esta notación permite además determinar qué unidades se deben usarpara su valor. Como sabemos los términos que se suman son productos de la forma "f(x) por un valor muy pequeño de x". De esta manera la unidad de medida de es el producto de las unidades de f(x) por las unidades de x. Por ejemplo:
* Si v(t) representa la velocidad medida en y t es el tiempo medido en horas, entonces la tiene por unidades . h = km. La unidad obtenida es kilómetros y es lo quecorresponde porque es valor de la integral representa un cambio de posición.
* Si se grafica y = f(x) con las mismas unidades de medida de longitud a lo largo de los ejes coordenados, por ejemplo metros, entonces f(x) y x se miden en metros y
tiene por unidad m . m = m2. Esta unidad es la esperada dado que, en este caso la integral representa un área.
Es importante tener en cuenta el teoremaenunciado a continuación.
Teorema:
* Si una función f es continua en un intervalo [a, b] entonces f es integrable en ese intervalo .
* Si f tiene un número finito de discontinuidades en [a, b] pero se mantiene acotada para todo x del intervalo (presenta sólo discontinuidades evitables o de salto finito) entonces es integrable en el intervalo.

Formalización de las integrales
AunqueNewton y Leibniz suministraron un enfoque sistemático a la integración, su trabajo carecía de un cierto nivel de rigor. Es memorable el ataque del obispo Berkeley calificando los infinitesimales como los "los fantasmas de las cantidades que se desvanecen". El cálculo adquirió una posición más firme con el desarrollo de los límites y, en la primera mitad del siglo XIX, recibió una fundamentación...
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