Trabajos

PARADOJA DE SAN PETERSBURGO

Nicholas Bernoulli fue quien propuso esta paradoja. Se propone un juego de azar en el que pagas una apuesta inicial fija. Consiste en el lanzamiento de una moneda repetidamente hasta que aparece la primera "cara". Una vez aparece, ganas 1 centavo si la cara aparece en el primer lanzamiento, 2 centavos si aparece en el segundo, 4 centavos si aparece en el tercero, 8en el cuarto, etc., doblando el premio en cada lanzamiento adicional. Así, ganarías 2k−1 centavos si la moneda debe lanzarse k veces.
La probabilidad de que la primera "cara" aparezca en el lanzamiento k es de:




La probabilidad de que ganes más de $10.24 (por ejemplo, 210 centavos) es menor que una entre mil. La probabilidad de que ganes más de $1 es menor que una entre cien. A pesar deello el valor esperado del premio es infinito.







Propuestas de solución

Desde su formulación, la paradoja de San Petersburgo ha asistido a muchos intentos de solución, unos centrándose más en la decisión del jugador y otros más en la propia estructura del juego.
Dentro de los primeros se encuentran las consideraciones sobre la diferencia crucial entre ganancia monetaria y utilidadde esa ganancia, ya apuntadas en el primer análisis de Daniel Bernoulli ("cualquier incremento en riqueza, no importa cuan insignificante, siempre resultará en un incremento en utilidad que es inversamente proporcional a la cantidad de bienes ya poseídos”). La idea es que aunque la ganancia monetaria pueda incrementarse indefinidamente, la utilidad de esa ganancia no se incrementa de modoparalelo. Además de ese hecho básico, hay autores que defienden que muchas personas no están dispuestas a hacer apuestas elevadas porque tienen aversión al riesgo.
Otros intentos de solución se centran en la propia estructura del juego, argumentando por una parte que en la práctica habría jugadas que nunca se llevarían a cabo, por ejemplo que no es concebible una jugada donde no aparezca la primera cruzhasta el 300 lanzamiento, y por otra que para que haya un juego de apuestas fiable se necesita una banca con dinero suficiente para cubrir el premio máximo, y en este mundo no hay bancas capaces de afrontar el pago de una baza donde saliese la cruz por primera vez en un número tan pequeño como el 50 lanzamiento (premio de 250 > 300 billones de euros).
Recientemente se ha propuesto un análisis dela paradoja (Luis Cañas, 2008) que parece un avance en el camino hacía la solución de este problema. La idea es descomponer el juego de la paradoja en un conjunto de juegos ordenados SP, tal que
SP1: al lanzar una moneda el jugador gana 21 monedas si sale cruz, y gana 0 si no sale cruz; se acaba el juego (esperanza matemática: 1/2 • 2 = 1).
SP2: el jugador gana 21 monedas si sale cruz laprimera vez, y se acaba el juego. Si no, se lanza otra vez y gana 22 monedas si sale cruz y 0 si no sale cruz; se acaba el juego (EM: 1/2 • 2 + 1/4 • 4 = 1 + 1 = 2).
SPn: el jugador lanza una moneda todas las veces que sean necesarias para que salga cruz por primera vez, hasta un máximo de n lanzamientos. Cuando sale una cruz o se han hecho n lanzamientos se termina el juego. Se cuenta el número delanzamientos, j, que se han necesitado para que salga cruz y el jugador gana 2j monedas; si no ha salido ninguna cruz el jugador gana 0 monedas (EM: 1/2 • 21 + 1/22 • 22 + 1/23 • 23 +.....+ 1/2j • 2j +......1/2n • 2n = 1 + 1 + 1 +........= n).
Todos los juegos SP tienen una esperanza matemática (EM), y por tanto una apuesta equitativa, igual a su número de orden, y un premio máximo (PM) de 2^n:SP
Esperanza
Matemática
Premio
Máximo





















Cada uno de estos juegos puede abordarse ya sin problemas mediante el uso de la ganancia esperada, aceptando apuestas favorables o equitativas (así, en el SP8 podrían apostarse 5, 6, 7 y hasta 8 euros, con premios posibles de 0, 2, 4 … hasta 256 euros y una ganancia esperada de 8 euros). Sólo a partir de un...