trabajos

Tema 5

Derivaci´n e Integraci´n num´rica
o
o
e
´
RESUMEN TEORICO

5.1.

Efecto de los errores de redondeo en la derivaci´n num´rio
e
ca

Para calcular una aproximaci´n num´rica de la derivada:
o
e
f (x + h) − f (x)
h→0
h

f (x) = l´
ım

podemos elegir una sucesi´n {hk } → 0 y calcular los t´rminos de la sucesi´n {Dk } dados por:
o
e
o
Dk =

f (x + hk ) − f (x)para k = 1, 2, · · ·
hk

La pregunta que nos planteamos es: ¿qu´ valor de hk hay que elegir para asegurar que Dk es
e
una buena aproximaci´n a la derivada f (x)?.
o
Ejemplo: Para la funci´n f (x) = ex calcular f (1) y el error cometido .
o
Los valores obtenidos se muestran en la siguiente tabla.
hk
h1 =0.1
h2 =0.01
h3 =0.001
h4 =0.0001
h5 =0.00001
h6 = 10−6
h7 = 10−7
h8 = 10−8
h9 =10−9
h10 = 10−10

k )−f
Dk = f (1+hhk (1)
2.85884195487388
2.73191865578708
2.71964142253278
2.71841774707848
2.71829541991231
2.71828318698653
2.71828196396484
2.71828177744737
2.71828159981169
2.71827893527643

error = |Dk − f (1)|
0.14056012641483
0.01363682732803
0.00135959407374
0.00013591861944
0.00001359145326
0.00000135852748
0.00000013550580
0.000000051011670.00000022864736
0.00000289318262

Como se puede apreciar los valores del error |Dk − f (1)| disminuyen hasta hk = 10−8
y luego aumentan. Este fen´meno es debido a que al hacer la diferencia f (1 + hk ) − f (1)
o
1

´
´
´
TEMA 5. DERIVACION E INTEGRACION NUMERICA
puede aparecer el problema de la p´rdida de cifras significativas debido a la substracci´n de
e
o
cantidades que son casiiguales.

5.2.

F´rmulas de los n-puntos. Error de truncamiento.
o

El siguiente teorema utiliza el polinomio interpolador de una funci´n f para obtener
o
f´rmulas de aproximaci´n a la derivada de una funci´n f .
o
o
o
Teorema 1 (f´rmula de n puntos). Sea f una funci´n de clase C n+1 [a, b] y {x1 , x2 , . . . , xn }
o
o
n puntos distintos de dicho intervalo. Si llamamos Li (x) a loscorrespondientes polinomios
elementales de Lagrange de grado n − 1, entonces existe un punto α ∈ [a, b] tal que
n

f (xk ) =

f (xi )Li (xk ) +
i=1

f n) (α)
n!

n

(xk − xi ).
i=1
i=k

Las f´rmulas m´s utilizadas son las que emplean tres y cinco puntos de evaluaci´n. Las
o
a
o
siguientes f´rmulas se obtienen de las f´rmulas de 3 puntos:
o
o
Si tomamos nodos equidistantespara aproximar f (x) x1 = x, x2 = x + h y x3 = x + 2h,
con h > 0 de acuerdo con la f´rmula anterior tenemos
o
−3f (x) + 4f (x + h) − f (x + 2h) h2 3)
+ f (α),
2h
3
que se conoce como f´rmula progresiva de tres puntos.
o
f (x) =

Si los nodos son x1 = x − 2h, x2 = x − h y x3 = x, con h > 0 de acuerdo con la f´rmula
o
anterior tenemos
f (x − 2h) − 4f (x − h) + 3f (x) h2 3)
+ f (α),
2h3
que se conoce como f´rmula regresiva de tres puntos.
o
f (x) =

Si tomamos x1 = x − h, x2 = x y x3 = x + h para aproximar f (x), nos queda lo que
se conoce como f´rmula centrada de tres puntos:
o
f (x) =

f (x + h) − f (x − h) h2 3)
− f (α).
2h
6

Observemos que la cota del error en este ultimo caso es aproximadamente la mitad que
´
en los otros dos casos, adem´s esta f´rmulanecesita menos evaluaciones de f que la anterior.
a
o
El error de truncamiento, si f 3) (α) no cambia muy r´pidamente, tiende a cero a la misma
a
velocidad que h2 . Ahora bien de acuerdo al ejemplo anterior no es aconsejable elegir h demasiado peque˜o, por lo que ser´ util disponer de f´rmulas que aproximen f (x) y que tengan
n
ıa ´
o
un error de truncamiento de orden mayor al dado.
Acontinuaci´n damos un programa de la f´rmula centrada de tres puntos
o
o
Ingenier´ T´cnica
ıa e
Inform´tica
a

2

An´lisis Num´rico I
a
e
Curso 2010/11

´
5.2. FORMULAS DE LOS N -PUNTOS. ERROR DE TRUNCAMIENTO.
function D=diffc3p(f,x,h)
%
Datos de entrada
% - f es la funcion, introducida como una cadena de caracteres ’f’
% - x es el punto en el que se deriva
% - h es el...