Tralala

1

Capítulo 1
Vectores

1.-

Sean los vectores

r
ˆ
a = 3 iˆ + 2 ˆ + 5 k ,
j
r
ˆ
b = iˆ + 4 ˆ + 2 k ,
j
r
ˆ
c = 6 iˆ + 2 ˆ + 4 k .
j
Calcule:

rr
a ⋅b .
rr
b) a × b .
rrr
c) a ⋅ ( b × c ) .
rrr
d) a × (b × c ) .

a)

2.-

Sean los vectores

r
a = iˆ + 2 jˆ ,
r
b = 3 iˆ − 3 ˆ + k ,
jˆ
r
ˆ
c = −7 ˆ + 2 ˆ + 9 k .
i
j
Calcule:

r
a) Un vectorunitario con la misma dirección y sentido que a .
b) La ecuación de la recta que pasa por el punto P(2, 0, 6) y que tiene la misma dirección
r
que b
rr
c) La ecuación del plano que pasa por Q(0, 5, -7) y que contiene a los vectores b y c .
rr
d) Un vector unitario perpendicular a los vectores a y c .

3.-

Aplicando conceptos de álgebra vectorial, calcule la distancia entre un punto P decoordenadas (x , y , z ) y una recta dada por las ecuaciones
P

P

P

r≡
Particularice en el caso

x− x

A=

y− y

A=

z−z

v
v
v
x
y
z
P (2, 4, − 3) ,
x−1 y+3
z
r≡
=
=
.
5
2
−1

A.

Capítulo 1: Vectores

4.-

2

Sobre la pieza que se muestra en la figura actúa la fuerza que se indica. La línea de acción
de la fuerza es la recta que une los puntos O y P.Calcule el momento de la fuerza:

y

a) Respecto al punto O.

F

b) Respecto al punto Q.
c) Respecto al punto S.

P
b

d) Respecto al eje Oz.
e) Respecto a la recta que une los puntos

O

Q y S.
Datos F = 15 N, a = 1.5 m, b = 1 m, c = 0.5

S

m.

5.-

x
c

Q
a

z

y

Sobre una rueda actúa el sistema de
fuerzas y momentos mostrado en la

W
M

figura.Sustituya este sistema por una
fuerza equivalente única y determine el
punto de intersección de la recta soporte
de dicha fuerza con el diámetro vertical de

R

la rueda. Tome como datos R = 45 cm, W =

F

4

3
3
N = 10 N, F = 4.10 N, M = 10 Nm.

x

N

6.-

y

Sobre una viga de horizontal de longitud

F

de

cargas

en

un

punto

2

a

representado.Determine el torsor del
sistema

F

1

L actúa el sistema de cargas verticales

P

P

arbitrario de la viga, situado a una
distancia x del origen de coordenadas O.

x

O
z

x
L

7.-

z

Sobre la plancha rectangular de la figura

F1

actúa el sistema de cargas indicado.
1

2

O

400, F = 300 kg, F = 200 kg, a = 4 m , b
3

F4

F3

F2

Tomando como datos: F =100 kg, F =
4

y

= 6 m, c = 5 m, d = 5 m,
x

d

a) Determine el torsor del sistema de
cargas en el punto O.
b) Calcule el eje central del sistema.

a
b

c

Capítulo 1: Vectores

3

z

8.-

90 N

Sobre la placa cuadrada que se muestra

60 N

O

actúa el sistema de cargas verticales

150 N

indicado.
a) Determine el torsor del sistema de
cargas en el puntoO.

30 N

50 N

y
L

x
L

b) Calcule el eje central del sistema.

L

Tome L = 5 m.

L

L
L

9.-

El motor de cola del avión de la figura

y

ejerce un empuje E = 72 kN. Cada motor
C

situado bajo las alas ejerce un empuje E

E
A

= 54 kN. Las dimensiones indicadas son c
= 3.6 m, b = 4.8 m, h = 2.4 m.

c

O
h

z

a) Reduzca las fuerzas de empuje a un2E

sistema fuerza-par en el punto O.

A

y

b) Si el sistema se reduce a una fuerza
única, calcule su línea de acción.
c) Repita los apartados a) y b) suponien-

O

do que falla el motor de la izquierda.

x
b

b

y

10.- Sobre una viga de longitud L actúa un

f (x )

sistema de cargas repartidas por toda su
longitud. La función f(x) simboliza la
carga por unidad delongitud que actúa
sobre un punto x de la misma.
a) Determine el torsor del sistema de

x
O

cargas en el punto O.

L

b) Calcule el eje central del sistema.

y

11.- Sobre una viga de longitud L actúa el F 2 / L
sistema de cargas que se muestra.
a) Determine el torsor del sistema de
cargas en el punto O.
b) Calcule el eje central del sistema.

F /L
1

x
O

Datos: F =...